Сложное движение точки. Переносное движение Абсолютное и относительное движение

09.01.2024

§ 2. 5. Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.

Дополнительно к неподвижным осям Oxyz (система S) введем в рассмотрение некоторое подвижное твердое тело и неизменно связанную с ним систему прямоугольных осей координат O’x’y’z’ (система S’).

Движение точки относительно подвижной системы осей S’ называется относительным движением.

Движение точки относительно неподвижных осей S называется абсолютным движением.

Переносным движением точки за интервал времени (t,t+Dt) называется то движение по отношению к осям S, которая эта точка имела бы, если бы в момент времени t и на интервал (t,t+Dt) она была неизменно связана с подвижной системой осей и, следовательно, перемещалась бы вместе с этой системой.

Траектория, скорость и ускорение называются абсолютными, относительными или переносными, смотря по тому, относятся ли они к движению абсолютному, относительному или переносному.

Теорема Эйлера: Если относительно системы S система S" имеет одну неподвижную точку, то перемещение S" из одного произвольного положения в любое другое может быть совершено одним поворотом на определенный угол относительно оси, проходящей через эту неподвижную точку.

Для доказательства достаточно показать возможность перевода одним поворотом дуги, например, .


		Проведем два экватора: a, перпендикулярный середине x 1 "x 2 ", и b, перпендикулярный середине z 1 "z 2 ". Получим две точки пересечения этих экваторов – с и d. Dx 1 "z 1 "d = Dz 2 "x 2 "d (так как x 1 "z 1 " = x 2 "z 2 ", а x 1 "d = x 2 "d в силу того, что точка d лежит на экваторе, перпендикулярном середине x 1 "x 2 ", z 1 "d = z 2 "d по той же причине) Таким образом, Ðx 1 "dz 1 " = Ðz 2 "dx 2 " и угол между дугами x 1 "d и x 2 "d равен углу между дугами z 1 "d и z 2 "d, то есть нужно повернуть x 1 "z 1 " относительно оси dO"c на угол x 1 "dz 1 " (или равный ему z 2 "dx 2 ")

Теорема Эйлера справедлива и для конечных поворотов и для бесконечно малых. Хотя последовательность бесконечно малых поворотов может быть любой – результат будет тем же, конечные же повороты не коммутируют. Это тем более справедливо для бесконечно малых поворотов, чем ближе дуги, описываемые какой-либо точкой, к хордам, соединяющим концы дуг.

При рассмотрении задач о движении тела с одной закрепленной точкой, которые имеют большое практическое значение, для определения (фиксации) положения системы S" относительно S широко используются три угла Эйлера.

Пересечение плоскостей O"xy и O"x"y" дает прямую, которую называют линией узлов (орт линии узлов - ). Первый угол Эйлера j - угол между осью O"x и линией узлов. Второй угол y - угол между линией узлов и осью O"x". Третий угол q - угол между осями O"z и O"z".

Эти три угла однозначно определяют положение системы S" относительно S

Таким образом, при бесконечно малом повороте системы S" относительно S на углы dj,dy,dq (некоторые из них могут быть равными нулю) их можно заменить одним поворотом на угол dc вокруг некоторой оси, проходящей через точку O".

Введем в рассмотрение вектор бесконечно малого поворота:

(здесь направлен по оси вращения по правилу правого винта)

Величина и направление вектора dc при сложном движении могут изменяться. Ось называется осью мгновенного вращения. Посмотрим, что происходит с ортами системы S" при ее повороте на угол

§ 2. 6. Сложное движение точки.

продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Абсолютная скорость точки (относительно системы S),

Скорость начала координат S" относительно S,

Не является скоростью точки М относительно системы S", так как орты этой системы являются функциями времени.

используя формулы (2.5.1) будем иметь:

Последнее слагаемое означает, что производная берется при неизменных ортах системы O’x’y’z’, .

Теперь для скоростей имеем:

здесь v h -переносная, v – абсолютная, v’ – относительная скорость точки, то есть получена связь этих скоростей. Переносная скорость состоит из двух слагаемых: первое присутствует в том случае, если подвижная система отсчета движется поступательно, второе появляется в том случае, если подвижная система отсчета совершает вращение.

Для получения связи ускорений продифференцируем по времени соотношение для скоростей:

Абсолютное ускорение, - ускорение начала координат S’ относительно S.

Сложное движение точки

Основные понятия

Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения.

Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга. Одну систему отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 примем за основную и неподвижную. Вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие как, траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом r .

Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 называется абсолютным (или сложным). Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Их обозначают без индекса.

Переносным движением точки называется движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают индексом e .

Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке, то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения.

Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.

Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки М, если известны скорости абсолютного и переносного движений этой точки.

За малый промежуток времени вдоль траектории точка М совершит относительное перемещение, определяемое вектором . Сама кривая , двигаясь вместе с подвижными осями, перейдет за тот же промежуток времени в новое положение Одновременно та точка кривой , с которой совпадала точка М, совершит переносное перемещение . В результате точка совершит перемещение .

Деля обе части равенства на и переходя к пределу, получим

Сложение ускорений при поступательном переносном движении.

Определим ускорение абсолютного движения точки в частном случае поступательного переносного движения.

Справедлива теорема . Если подвижная система отсчета движется поступательно относительно неподвижной , то все точки тела, скрепленного с этой системой, имеют одинаковые скорости и ускорения, равные скорости и ускорению начала координат подвижной системы О. Следовательно, для скорости и ускорения переносного движения имеем

Выразим относительную скорость в декартовых координатах

Подставляя в теорему о сложении скоростей значения переносной и относительной скоростей получаем

По определению

§ 20 . Относительное, переносное и абсолютное

движение точки

Сложным движением точки называется такое ее движение, при котором она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за неподвижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, совершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета ) и движения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета ).

Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением точки . Скорость и ускорение этого движения называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки .

Переносной скоростью и переносным ускорением точки называют скорость и ускорение той, жестко связанной с подвижной системой координат точки, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным или сложным . Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .

В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.

§ 21 .Определение скорости точки при сложном

движении

Пусть имеется неподвижная система отсчета по отношению к которой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движется точка (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

,(2.67)

где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно

неподвижной системы отсчета ;

Радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

системы координат ;

Радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее

положение относительно подвижной системы координат.

Пустькоординаты точки в подвижных осях. Тогда

,(2.68)

где - единичные векторы, направленные вдоль подвижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), получим:

.(2.69)

При относительном движении координаты изменяются с течением времени. Чтобы найти скорость относительного движения, нужно продифференцировать радиус-вектор по времени, учитывая его изменение только за счет относительного движения, то есть только за счет изменения координат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сделанных оговорок, получим относительную скорость:

, (2.70)

где точки над величинами означают производные от этих величин по времени:

, , .

Если относительного движения нет, то точка будет двигаться вместе с подвижной системой - координат и скорость точки будет равна переносной скорости. Таким образом, выражение для переносной скорости можно получить, если продифференцировать по времени радиус-вектор , считая не зависящими от времени:

.(2.71)

Выражение для абсолютной скорости найдем, дифференцируя по времени , учитывая, что от времени зависят относительные координатыи орты подвижной системы координат:

.(2.72)

В соответствии с формулами (2.70), (2.71) первая скобка в (2.72) есть переносная скорость точки, а вторая - относительная. Итак,

.(2.73)

Равенство (2.73) выражает теорему о сложении скоростей : абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Задача 2.9. Поезд движется по прямоли нейному горизонтальному пути с постоянной скоростью . Пассажир видит из окна вагона траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом . Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.

Решение. Капли дождя имеют абсолютную скорость

где - относительная скорость капли при ее движении по стеклу вагона;

Переносная скорость капли, равная скорости движения поезда.

Получившийся параллелограмм скоростей (рис. 2.27) диагональ делит на два равных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, находим

Переводим полученную скорость падения капель в :

§ 22 .Определение ускорения точки при сложном

движении

Выражение для относительного ускорения точки можно получить, дифференцируя относительную скорость (2.70), учитывая ее и зменение только за счет относительного движения, то есть за счет изменения относительных координат точки , , . Вектора же следует считать постоянными, так как движение недвижной системы координат не учитывается при определении относительной скорости и относительного ускорения точки. Итак, имеем

,(2.74)

Переносное ускорение получим, дифференцируя по времени равенство (2.71), считая, что точка покоится по отношению к подвижной системе координат, т. е. что относительные координаты точки , , не зависят от времени.

.(2.75)

Абсолютное ускорение получим, дифференцируя выражение для абсолютной скорости (2.72), учитывая, что с течением времени изменяются как относительные координаты , , точки, так и орты подвижной системы координат

.(2.76)

Видно, что первая скобка в (2.76) есть переносное ускорение, третья - относительное ускорение. Вторая скобка есть дополнительное или кориолисово ускорение :

.(2.77)

Итак, равенство (2.76) можно записать в виде

.(2.78)

Эта формула и выражает теорему Кориолиса : в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме

переносного, относительного и поворотного ускорений.

Преобразуем формулу (2.77) дляускорения Кориолиса. Для производных единичныхвекторов подвижной системы координат имеют место следующие формулы Пуассона :

; ; .(2.79)

Здесь - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат. Знаком обозначено векторное произведение векторов.

Подставляя формулы (2.79) в (2.77), получим:

Выражение в скобках есть не что иное, как относительная скорость (см. (2.70)). Окончательно получим:

.(2.80)

Итак, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению мгновенной угловой скорости подвижной системы координат на вектор относительной скорости .

По общему правилу определения направления, векторного произведения имеем: ускорение Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через вектора и в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 2.28).

Из формулы (2.80) вытекает также, что величина ускорения Кориолиса

.(2.81)

Отсюда следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях :

1) если , т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2) если , т.е. в случае относительного покоя точки или в моменты обращений в нуль относительной скорости точки;

3) если , т. е. в случае, когда вектор относительной скорости точки параллелен вектору угловой скорости переносного движения , как, например, при движении точки вдоль образующей цилиндра, вращающегося вокруг своей оси.

Задача 2.10. По железнодорожному п ути, проложенному по параллели северной широты, движется тепловоз со скоростью с запада на восток. Найти кориолисово ускорение тепловоза.

Решение. Пренебрегая размерами тепловоза, будем рассматривать его как некоторую точку (точка на рис. 2.29). Точка совершает сложное движение. За переносное движение примем вращательное движение точки вместе с Землей, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к Земле с постоянной скоростью .

Величина ускорения Кориолиса согласно (2.81) равна

где - угловая скорость вращения Земли.

Найдем угловую скорость вращения Земли. За сутки Земля делает один оборот. Угол, соответствующий одному обороту, равен и число секунд в сутках равно , отсюда

Положение и направление вектора ускорения Кориолиса определяем по общему правилу определения направления векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса находится на прямой , так как он должен быть перпендикулярен векторам и , и направлен в сторону противоположную направлению векторов и .

Направление полного ускорения определим по тангенсу угла α, который полное ускорение образует с нормальным ускорением (рис. 52). Получим

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указанных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движение точки на ободе колеса является составным или сложным.

Введем следующие определения:

Переносным движением точки называется ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы координат .

Переносная скорость и переносное ускорение точки обозначается индексом е : , .

Переносной скоростью (ускорением ) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости (ускорению ) той точки m подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущая точка М (рис. 8.1).

Проведем радиус-вектор начала координат (рис. 8.1). Из рисунка видно, что

Чтобы найти переносную скорость точки в заданный момент времени необходимо продифференцировать радиус-вектор при условии, что координаты точки x, y, z не изменяются в данный момент времени:

Переносное ускорение соответственно равно

Таким образом для определения переносной скорости и переносного ускорения в данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точку m тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М , и вычислить скорость и ускорение точки m тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.

Переносной скоростью ипереносным ускорением точкиназывают скорость и ускорение той, жестко связанной с подвижной системой координат точки, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным или сложным . Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютнойскоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .

§ 21. Определение скорости точки при сложном

движении

где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно

неподвижной системы отсчета ;

Радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

системы координат ;

Радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее

положение относительно подвижной системы координат.

Пустькоординаты точки в подвижных осях. Тогда

, (2.68)

где - единичные векторы, направленные вдоль подвижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), получим:

СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки

Введем следующие определения:

1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис. 53) называется абсолютным.

2. Движение точки относительно подвижной системы координат O 1 ξηζ называется населенным.

3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О 1 ξηζ , относительно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.

Таким образом, переносное движение вызвано движением подвижной системы координат по отношению к неподвижной. В приведенном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О 1 ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.

Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив координаты точки х, у,z как функции времени:

х=х(t ), у = у(t ), z = z (t ).

Уравнения относительного движения точки имеют вид

ξ = ξ (t ), η = η (t), ζ = ζ (t ).

В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравнения абсолютной траектории, а уравнения (11.77) - соответственно уравнения относительной траектории.

Различают также абсолютную, переносную и относительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсолютную скорость обозначают υ a , относительную - υ r , переносную - υ е Соответственно ускорения обозначают: ω а , ω r и ω е .

Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и подвижной.

Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускорений в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.

Теорема о сложении скоростей

Теорема . При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ a равна векторной сумме относительной υ r и переносной υ е скоростей.

Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы координат Оξηζ через ω . Положение точки М определяется радиусом-вектором r .

Установим соотношение между скоростями точки М по отношению к двум системам координат - неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы

Из кинематики точки известно, что первая производная от радиуса-вектора движущейся точки по времени выражает скорость этой точки. Поэтому = r = υ а - абсолютная скорость, =υ r - относительная скорость,

а ω xr = υ е - переносная скорость точки М. Следовательно,

υ а = υ r + υ е

Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:

В некоторых задачах кинематики требуется определить относительную скорость υ r . Из (11.79) следует

υ r = υ а +(- υ е) .

Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с вектором, равным по абсолютной величине, но противоположно направленным переносной скорости.