Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Определение 1. ПустьЕ – бесконечное множество. Если любая окрестностьсодержит точки множестваЕ , отличные от точкиа , тоа называетсяпредельной точкой множестваЕ .
Определение
2. (Генрих Гейне
(1821-1881)). Пусть функция
определена на множествеХ
и
А
называетсяпределом
функции
в точке
(или при
,
если для любой последовательности
значений аргумента
,
сходящейся к
,
соответствующая последовательность
значений функциисходится к числуА
. Пишут:
.
Примеры
. 1) Функция
имеет предел, равныйс
, в любой точке
числовой прямой.
Действительно, для любой точки
и любой последовательности значений
аргумента
,
сходящейся к
и состоящей из чисел, отличных от
,
соответствующая последовательность
значений функции имеет вид
,
а мы знаем, что эта последовательность
сходится кс
. Поэтому
.
2) Для функции
.
Это очевидно, так как если
,
то и
.
3) Функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке.
Действительно, пусть
и
,
причем все
–
рациональные числа. Тогда
для всехn
, поэтому
.
Если же
и все
–
иррациональные числа, то
для всехn
, поэтому
.
Мы видим, что условия определения 2 не
выполняются, поэтому
не существует.
4)
.
Действительно, возьмем произвольную
последовательность
,
сходящуюся к
числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.
Определение
3. (Коши (1789-1857)). Пусть
функция
определена на множествеХ
и
– предельная точка этого множества.
ЧислоА
называетсяпределом
функции
в точке
(или при
,
если для любого
найдется
,
такое, что для всех значений аргументах
, удовлетворяющих неравенству
,
справедливо неравенство
.
Пишут:
.
Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а:
пусть функция
определена на множествеХ
и
– предельная точка этого множества.
ЧислоА
называется пределом
функции
в точке
,
если для любой
-окрестности
точкиА
найдется проколотая
-
окрестность точки
,такая,
что
.
Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.
Пример
5.
.
Действительно, возьмем
произвольно и найдем
,
такое, что для всехх
, удовлетворяющих
неравенству
выполняется неравенство
.
Последнее неравенство равносильно
неравенству
,
поэтому видим, что достаточно взять
.
Утверждение доказано.
Справедлива
Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
Доказательство
. 1) Пусть
по Коши. Докажем, что это же число является
пределом и по Гейне.
Возьмем
произвольно. Согласно определению 3
существует
,
такое, что для всех
выполняется неравенство
.
Пусть
– произвольная последовательность
такая, что
при
.
Тогда существует номерN
такой, что для всех
выполняется неравенство
,
поэтому
для всех
,
т.е.
по Гейне.
2) Пусть теперь
по Гейне. Докажем, что
и по Коши.
Предположим противное, т.е. что
по Коши. Тогда существует
такое, что для любого
найдется
,
и
.
Рассмотрим последовательность
.
Для указанного
и любогоn
существует
и
.
Это означает, что
,
хотя
,
т.е. числоА
не является пределом
в точке
по Гейне. Получили противоречие, которое
и доказывает утверждение. Теорема
доказана.
Теорема
2 (о единственности предела).
Если существует предел функции в точке
,
то он единственный.
Доказательство . Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.
Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим
Определение
4. Говорят, что функция
удовлетворяет условию Коши в точке
,
если для любого
существует
,
таких, что
и
,
выполняется неравенство
.
Теорема
3 (критерий Коши существования
предела). Для того чтобы функция
имела в точке
конечный предел, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке функция удовлетворяла
условию Коши.
Доказательство
.Необходимость
.
Пусть
.
Надо доказать, что
удовлетворяет в точке
условию Коши.
Возьмем
произвольно и положим
.
По определению предела для
существует
,
такое, что для любых значений
,
удовлетворяющих неравенствам
и
,
выполняются неравенства
и
.
Тогда
Необходимость доказана.
Достаточность
. Пусть функция
удовлетворяет в точке
условию Коши. Надо доказать, что она
имеет в точке
конечный предел.
Возьмем
произвольно. По определению 4 найдется
,
такое, что из неравенств
,
следует,
что
– это дано.
Покажем сначала, что для всякой
последовательности
,
сходящейся к
,
последовательность
значений функции сходится. Действительно,
если
,
то, в силу определения предела
последовательности, для заданного
найдется номерN
,
такой, что для любых
и
.
Поскольку
в точке
удовлетворяет условию Коши, имеем
.
Тогда по критерию Коши для последовательностей
последовательность
сходится. Покажем, что все такие
последовательности
сходятся к одному и тому же пределу.
Предположим противное, т.е. что есть
последовательности
и
,
,
,
такие, что.
Рассмотрим последовательность.
Ясно, что она сходится к
,
поэтому по доказанному выше
последовательностьсходится, что невозможно, так как
подпоследовательности
и
имеют разные пределы
и
.
Полученное противоречие показывает,
что
=
.
Поэтому по определению Гейне функция
имеет в точке
конечный предел. Достаточность, а значит
и теорема, доказаны.
Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х о, кроме, быть может, самой точки х о.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x 0 (или при х® х о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n , n є N (x n ¹ x 0), сходящейся к х о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х n), n є N, сходится к числу А
В этом случае пишут
или ƒ(х)->А при х→х о. Геометрический смысл предела функции:
означает,
что для всех точек х, достаточно близких к точке х о, соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).
Число А называется пределом функции в точке х о (или при х→х о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹ х о, удовлетворяющих неравенству |х-х о |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Геометрический смысл предела функции:
если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х о, что для всех х¹ хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Доказать, что
Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции считается, что х стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х 0), большим, чем х о (справа от х о), или колеблясь около точки x 0 .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А 1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х 0 -δ;x o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х 0 -0 или коротко: ƒ(х о- 0)=А 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначают ƒ(х о +0)=А.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А 1 =А 2 .
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х 0 -0) и ƒ(х 0 +0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х 0 -0).
Если же А 1 ¹ А 2 , то етот придел не существует.
16.3. Предел функции при х ® ∞
Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Геометрический смысл этого определения таков: для " ε>0 $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х 0 , если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.
Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х->2.
Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х о и принимает лишь положительные значения, то пишут
если лишь отрицательные значения, то
Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:
Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v n =n 2 +1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)
Однако, если limƒ(х)=А при х→x 0 , где А - конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х о.
Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х 0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.
Найти предел функции в точке:
Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой
Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.
Пример 47.
Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.
Пример 48.
Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.
Пример 49.
Прямая подстановка x=2
показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0}
. Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2)
.
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2)
.
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.
Пример 50.
Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0}
.
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.
Пример 51.
Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3
находим предел функции в точке
Пример 52.
Особенность вида {0/0}
раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.
Здесь использовали первый замечательный предел:
и следствия из него
где a
и b
– произвольные числа.
Пример 53.
Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.
Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:
Вычислить предел функции в точке:
Пример 54.
Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2)
.
Однако числитель дальше содержит (x+2)
, а это значит, что при x=-2
граница равна нулю.
Пример 55.
Имеем дробную функцию - в числителе разница корней, в знаменателе - поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0}
.
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1)
.
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке
Пример 56.
С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x)
, и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби
Пример 57.
Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.
На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов
к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.