விநியோக செயல்பாட்டின் வரையறை. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி, விநியோக செயல்பாடு மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

எடுத்துக்காட்டு 1: விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 1§ 13 இலிருந்து தனித்த சீரற்ற மாறி x.

விநியோக செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கணக்கிடுங்கள்

நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

§ 13 இல் பெறப்பட்டது, மற்றும் சூத்திரம் (5), நாங்கள் பெறுகிறோம்

விநியோக செயல்பாடு:

சூத்திரத்தின்படி (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

ப(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0.5904 – 0.0016 = 0.5888.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

F(x) சார்பு என்பது சில சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் சார்பா? பதில் ஆம் எனில், கண்டுபிடிக்கவும். F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும்.

தீர்வு. முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட செயல்பாடு F(x) ஆனது சில சீரற்ற மாறி x இன் விநியோகச் செயல்பாடாக இருக்க, பின்வரும் நிபந்தனைகளை (விநியோகச் செயல்பாட்டின் சிறப்பியல்பு பண்புகள்) பூர்த்தி செய்வது அவசியம் மற்றும் போதுமானது:

1. F(x) என்பது குறையாத செயல்பாடு.

3. எந்த x О R F( எக்ஸ்– 0) = F( எக்ஸ்).

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு F(x), செயல்படுத்தல்

இந்த நிலைமைகள் வெளிப்படையானவை. பொருள்

F(x) - விநியோக செயல்பாடு.

நிகழ்தகவு கணக்கிடப்படுகிறது

சூத்திரம் (2):

செயல்பாட்டின் வரைபடம் F( எக்ஸ்) படம் 13 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 3. F 1 ( எக்ஸ்) மற்றும் F 2 ( எக்ஸ்) – சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 முறையே, ஏ 1 மற்றும் ஏ 2 என்பது எதிர்மில்லாத எண்கள், அதன் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும்.

F( எக்ஸ்) = அ 1 F 1 ( எக்ஸ்) + அ 2 F 2 ( எக்ஸ்) என்பது சில சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் செயல்பாடு ஆகும் எக்ஸ்.

தீர்வு. 1) F 1 முதல் ( எக்ஸ்) மற்றும் F 2 ( எக்ஸ்) குறையாத செயல்பாடுகள் மற்றும் ஏ 1 ³ 0, ஏ 2 ³ 0, பின்னர் அ 1 F 1 ( எக்ஸ்) மற்றும் அ 2 F 2 ( எக்ஸ்) குறைவதில்லை, எனவே அவற்றின் கூட்டுத்தொகை F( எக்ஸ்) என்பதும் குறையாது.

3) எந்த x О R F( எக்ஸ் - 0) = அ 1 F 1 ( எக்ஸ் - 0) + அ 2 F 2 ( எக்ஸ் - 0)= அ 1 F 1 ( எக்ஸ்) + அ 2 F 2 ( எக்ஸ்) = F( எக்ஸ்).

எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

F(x) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடா?

தீர்வு. F(1) = 0.2 > 0.11 = F(1,1) என்று பார்ப்பது எளிது. எனவே, எஃப்( எக்ஸ்) குறைவதில்லை, எனவே இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடு அல்ல. மீதமுள்ள இரண்டு பண்புகள் இந்த செயல்பாட்டிற்கு செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

சோதனை பணி எண். 11

1. தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்

எக்ஸ்) மற்றும், அதைப் பயன்படுத்தி, நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்: a) –2 £ எக்ஸ் < 1; б) ½எக்ஸ்½£ 2. விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும்.

3. தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்விநியோக அட்டவணை மூலம் வழங்கப்படுகிறது:

விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் F( எக்ஸ்) மற்றும் பின்வரும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும்: a) எக்ஸ் < 2; б) 1 £ எக்ஸ் < 4; в) 1 £ எக்ஸ்£4; ஈ) 1< எக்ஸ்£4; ஈ) எக்ஸ் = 2,5.

4. தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ், ஒரு பகடை வீசும்போது உருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, குறைந்தது 5 புள்ளிகளை உருட்டுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

5. நம்பகத்தன்மைக்காக 5 சாதனங்களின் தொடர்ச்சியான சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. முந்தையது நம்பகமானதாக மாறினால் மட்டுமே ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த சாதனமும் சோதிக்கப்படும். விநியோக அட்டவணையை உருவாக்கி, ஒவ்வொரு சாதனத்திற்கும் சோதனைகளில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 ஆக இருந்தால், சாதனங்களின் சீரற்ற எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளின் விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

6. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்:

a) நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 1 £ஐக் கண்டறியவும் எக்ஸ்£3.

b) சீரற்ற மாறியின் விநியோக அட்டவணையைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்.

7. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்:

இந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக அட்டவணையை உருவாக்கவும்.

8. நாணயம் வீசுதல் nஒருமுறை. ஒரு விநியோக அட்டவணையை உருவாக்கி, கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸின் தோற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும். விநியோகச் செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுங்கள் n = 5.

9. கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் வரும் வரை நாணயம் வீசப்படுகிறது. ஒரு விநியோக அட்டவணையை உருவாக்கி, ஒரு இலக்கத்தின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

10. துப்பாக்கி சுடும் வீரர் முதலில் தாக்கும் வரை இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார். ஒரு ஷாட்டை தவறவிடுவதற்கான நிகழ்தகவு சமம் ஆர். தவறியவர்களின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

சீரற்ற மாறி பல்வேறு சூழ்நிலைகளைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய ஒரு மாறி, மற்றும் சீரற்ற மாறி தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது , அது எந்த வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது வரம்பற்ற இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்க முடியும் என்றால். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் குறிப்பிடுவது சாத்தியமில்லை, எனவே சில நிகழ்தகவுகளுடன் தொடர்புடைய இந்த மதிப்புகளின் இடைவெளிகளை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளில் பின்வருவன அடங்கும்: ஒரு பகுதியின் விட்டம் கொடுக்கப்பட்ட அளவு, ஒரு நபரின் உயரம், ஒரு எறிபொருளின் பறக்கும் வீச்சு போன்றவை.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் செயல்பாடு என்பதால் எஃப்(எக்ஸ்), போலல்லாமல் தனித்த சீரற்ற மாறிகள், எங்கும் தாவல்கள் இல்லை, பின்னர் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும்.

இதன் பொருள் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு அதன் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான நிகழ்தகவு விநியோகத்தைப் பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை: அவை ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ஜிய நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், ஒரு வகையில், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளில் "அதிகமாகவும் குறைவாகவும்" உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு - தோராயமாக சந்திக்கும் நபரின் உயரம் - 170 செ.மீ - 220 செ.மீ க்கும் அதிகமாக இருக்கும் என்று யாரும் சந்தேகிக்க மாட்டார்கள், இருப்பினும் இரண்டு மதிப்புகளும் நடைமுறையில் ஏற்படலாம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் விநியோக செயல்பாடு

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ள ஒரு விநியோகச் சட்டமாக, விநியோக அடர்த்தி அல்லது நிகழ்தகவு அடர்த்தி என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. தொடர்ச்சியான ரேண்டம் மாறி மற்றும் தனித்த சீரற்ற மாறிக்கான பரவல் செயல்பாட்டின் பொருளை ஒப்பிடுவதன் மூலம் அதை அணுகலாம்.

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு (தனிப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியானது) அல்லது ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுரேண்டம் மாறியின் மதிப்பின் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்வரம்பு மதிப்பை விட குறைவாக அல்லது சமமாக எக்ஸ்.

அதன் மதிப்புகளின் புள்ளிகளில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறிக்கு எக்ஸ்1 , எக்ஸ் 2 , ..., எக்ஸ்நான்,...நிகழ்தகவுகளின் நிறை குவிந்துள்ளது ப1 , ப 2 , ..., பநான்,..., மற்றும் அனைத்து வெகுஜனங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம். இந்த விளக்கத்தை தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் வழக்குக்கு மாற்றுவோம். 1 க்கு சமமான வெகுஜனமானது தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் குவிக்கப்படாமல், அப்சிஸ்ஸா அச்சில் தொடர்ந்து "ஸ்மியர்" செய்யப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்வோம். ஓசில சீரற்ற அடர்த்தியுடன். ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எந்தப் பகுதியிலும் விழும் Δ எக்ஸ்ஒரு பகுதிக்கான நிறை என்றும், அந்தப் பிரிவின் சராசரி அடர்த்தியானது நிறை மற்றும் நீளத்தின் விகிதமாக விளக்கப்படும். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான கருத்தை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம்: விநியோக அடர்த்தி.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(எக்ஸ்) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்:

.

அடர்த்தி செயல்பாட்டை அறிந்தால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு மூடிய இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதற்கான நிகழ்தகவை நீங்கள் காணலாம். அ; பி]:

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் [ அ; பி], அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் அமுன் பி:

.

இந்த வழக்கில், செயல்பாட்டின் பொதுவான சூத்திரம் எஃப்(எக்ஸ்) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு விநியோகம், இது அடர்த்தி செயல்பாடு தெரிந்தால் பயன்படுத்தப்படலாம் f(எக்ஸ்) :

.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வரைபடம் அதன் பரவல் வளைவு என அழைக்கப்படுகிறது (கீழே உள்ள படம்).

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு (படத்தில் நிழலாடப்பட்டது) ஒரு வளைவால், புள்ளிகளிலிருந்து வரையப்பட்ட நேர்கோடுகள் அமற்றும் பி x-அச்சு மற்றும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஓ, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு நிகழ்தகவை வரைபடமாகக் காட்டுகிறது எக்ஸ்வரம்பிற்குள் உள்ளது அமுன் பி.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்புகள்

1. ஒரு சீரற்ற மாறியானது இடைவெளியிலிருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவு (மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு f(எக்ஸ்) மற்றும் அச்சு ஓ) ஒன்றுக்கு சமம்:

2. நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது:

மற்றும் விநியோகத்தின் இருப்புக்கு வெளியே அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்

விநியோக அடர்த்தி f(எக்ஸ்), அத்துடன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்), விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும், ஆனால் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் போலல்லாமல், இது உலகளாவியது அல்ல: தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே விநியோக அடர்த்தி உள்ளது.

நடைமுறையில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் இரண்டு முக்கிய வகைகளைக் குறிப்பிடுவோம்.

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) சில வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி [ அ; பி] ஒரு நிலையான மதிப்பை எடுக்கும் சி, மற்றும் இடைவெளிக்கு வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும், பின்னர் இது விநியோகம் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது .

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம் மையத்தைப் பற்றிய சமச்சீராக இருந்தால், சராசரி மதிப்புகள் மையத்திற்கு அருகில் குவிந்து, மையத்திலிருந்து விலகிச் செல்லும்போது சராசரியிலிருந்து வேறுபட்டவை சேகரிக்கப்படுகின்றன (செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பகுதியை ஒத்திருக்கிறது. மணி), பின்னர் இது விநியோகம் இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது .

எடுத்துக்காட்டு 1.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு அறியப்படுகிறது:

செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் f(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி. இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 4 முதல் 8 வரையிலான இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதன் மூலம் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) - பரவளையம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(எக்ஸ்) - நேராக:

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி 4 முதல் 8 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

குணகத்தை கணக்கிடுங்கள் சி. செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல். இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி 0 முதல் 5: வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. குணகம் சிநிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்பு 1 ஐப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

எனவே, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு:

ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம் எஃப்(எக்ஸ்) நிகழ்தகவு விநியோகம். என்றால் எக்ஸ் < 0 , то எஃப்(எக்ஸ்) = 0 . 0 என்றால்< எக்ஸ் < 10 , то

.

எக்ஸ்> 10, பின்னர் எஃப்(எக்ஸ்) = 1 .

எனவே, நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டின் முழுமையான பதிவு:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(எக்ஸ்) :

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) :

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி 0 முதல் 5 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி எக்ஸ்சமத்துவத்தால் வழங்கப்படுகிறது, மற்றும் . குணகத்தைக் கண்டறியவும் ஏ, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி நிகழ்தகவு எக்ஸ்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டின் ]0, 5[ இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் எக்ஸ்.

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி நாம் சமத்துவத்தை அடைகிறோம்

எனவே, எங்கிருந்து . அதனால்,

.

இப்போது நாம் ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் எக்ஸ்]0, 5[:

இப்போது இந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ், இது எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகள் மற்றும் அதன் விநியோக செயல்பாடுகளை மட்டுமே எடுக்கும் .

சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய, இந்த அறிவுத் துறையின் அனைத்து அம்சங்களையும் படிப்பது அவசியம். கேள்விக்குரிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய பல்வேறு முறைகள் உள்ளன, இதில் மாறியை மாற்றுதல் மற்றும் முறுக்குவிசை உருவாக்குதல் ஆகியவை அடங்கும். விநியோகம் என்பது சிதறல் மற்றும் மாறுபாடுகள் போன்ற கூறுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு கருத்தாகும். இருப்பினும், அவை சிதறல் வரம்பின் அளவை மட்டுமே வகைப்படுத்துகின்றன.

சீரற்ற மாறிகளின் மிக முக்கியமான செயல்பாடுகள் தொடர்புடையவை மற்றும் சுயாதீனமானவை மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, X1 என்பது ஆண் மக்கள்தொகையில் இருந்து தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தனிநபரின் எடை, X2 என்பது மற்றொருவரின் எடை, ..., மற்றும் Xn என்பது ஆண் மக்கள்தொகையில் இருந்து மற்றொரு நபரின் எடை எனில், ரேண்டம் எப்படி என்பதை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். செயல்பாடு X விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மத்திய வரம்பு தேற்றம் எனப்படும் கிளாசிக்கல் தேற்றம் பொருந்தும். பெரிய n க்கு செயல்பாடு நிலையான விநியோகங்களைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் காட்ட இது அனுமதிக்கிறது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள்

மைய வரம்பு தேற்றம் என்பது பைனோமியல் மற்றும் பாய்சன் போன்ற ஆர்வத்தின் தனித்தனி மதிப்புகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவதை நோக்கமாகக் கொண்டது. சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகள், முதலில், ஒரு மாறியின் எளிய மதிப்புகளில் கருதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, X என்பது அதன் சொந்த நிகழ்தகவு பரவலைக் கொண்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருந்தால். இரண்டு வெவ்வேறு அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்தி அடர்த்தி சார்பு Y ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இந்த வழக்கு ஆராய்கிறது, அதாவது விநியோக செயல்பாடு முறை மற்றும் மாறி முறையின் மாற்றம். முதலில், ஒன்றுக்கு ஒன்று மதிப்புகள் மட்டுமே கருதப்படுகின்றன. மாறியை மாற்றும் நுட்பம் அதன் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய மாற்றியமைக்கப்பட வேண்டும். இறுதியாக, சில வரிசை முறைகளைப் பின்பற்றும் சீரற்ற எண்களை மாதிரியாக ஒட்டுமொத்த விநியோகம் எவ்வாறு உதவும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

கருதப்படும் மதிப்புகளின் விநியோக முறை

ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் முறை அதன் அடர்த்தியைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது. இந்த முறை ஒட்டுமொத்த மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறது. பின்னர், அதை வேறுபடுத்துவதன் மூலம், நிகழ்தகவு அடர்த்தியைப் பெறலாம். இப்போது விநியோக செயல்பாடு முறை உள்ளது, மேலும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கலாம். X ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு அடர்த்தி கொண்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும்.

x2 இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு என்ன? நீங்கள் செயல்பாடு (மேல் மற்றும் வலது) y = x2 ஐப் பார்த்தால் அல்லது வரைபடமாக்கினால், அது X மற்றும் 0 ஐ அதிகரிக்கிறது என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.

கடைசி எடுத்துக்காட்டில், அவை எந்த சீரற்ற மாறியைச் சேர்ந்தவை என்பதைக் குறிக்க, ஒட்டுமொத்த செயல்பாடுகள் மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியை X அல்லது Y உடன் அட்டவணைப்படுத்துவதில் மிகுந்த கவனம் எடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, Y இன் ஒட்டுமொத்த பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியும் போது, ​​எங்களுக்கு X கிடைத்தது. சீரற்ற மாறி X மற்றும் அதன் அடர்த்தியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் அதை வேறுபடுத்த வேண்டும்.

மாறிகளை மாற்றுவதற்கான நுட்பம்

X என்பது ஒரு பொதுவான வகுப்பான f (x) உடன் விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் y இன் மதிப்பை X = v(Y) இல் வைத்தால், நீங்கள் x இன் மதிப்பைப் பெறுவீர்கள், எடுத்துக்காட்டாக v(y). இப்போது, ​​நாம் ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி Y இன் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பெற வேண்டும். இதில் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமத்துவம் ஒட்டுமொத்த Y இன் வரையறையிலிருந்து நடைபெறுகிறது. மூன்றாவது சமத்துவம் திருப்தி அளிக்கிறது, ஏனெனில் u (X) ≤ y X ≤ v (Y ) என்பதும் உண்மை. மற்றும் பிந்தையது ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இல் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க செய்யப்படுகிறது. இப்போது Y இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைப் பெற, Y இன் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் சார்பான FY(y) இன் வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும்.

குறைப்பு செயல்பாட்டிற்கான பொதுமைப்படுத்தல்

X என்பது c1க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட பொதுவான f(x) உடன் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும்

இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, அளவு தரவு சேகரிக்கப்பட்டு, அனுபவ ரீதியான ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இந்தத் தகவலைக் கொண்டிருப்பதற்கும் அதைக் கவர்வதற்கும் மாதிரி வழிமுறைகள், நிலையான விலகல்கள், மீடியா தரவு மற்றும் பலவற்றின் கலவை தேவைப்படுகிறது.

அதேபோல், மிகவும் எளிமையான நிகழ்தகவு மாதிரி கூட அதிக எண்ணிக்கையிலான முடிவுகளைக் கொண்டிருக்கும். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை 332 முறை புரட்டினால். புரட்சிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முடிவுகளின் எண்ணிக்கை google (10100) ஐ விட அதிகமாக உள்ளது - ஒரு எண், ஆனால் அறியப்பட்ட பிரபஞ்சத்தில் உள்ள அடிப்படைத் துகள்களை விட 100 quintillion மடங்கு அதிகமாக இல்லை. ஒவ்வொரு சாத்தியமான விளைவுக்கும் ஒரு பதிலை வழங்கும் பகுப்பாய்வில் ஆர்வம் இல்லை. தலைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது வால்களின் நீளமான பக்கவாதம் போன்ற எளிமையான கருத்து தேவைப்படும். ஆர்வமுள்ள சிக்கல்களில் கவனம் செலுத்த, ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவு ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் வரையறை பின்வருமாறு: ஒரு ரேண்டம் மாறி என்பது ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளியுடன் ஒரு உண்மையான செயல்பாடு.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் S வரம்பு சில நேரங்களில் நிலை இடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, X என்பது கேள்விக்குரிய மதிப்பாக இருந்தால், N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc மற்றும் பல. இவற்றில் கடைசியாக, X ஐ அருகில் உள்ள முழு எண்ணுக்குச் சுற்றுவது, தரை செயல்பாடு எனப்படும்.

விநியோக செயல்பாடுகள்

சீரற்ற மாறி xக்கான வட்டியின் விநியோகச் செயல்பாடு தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன், பொதுவாக கேள்வி எழுகிறது: "B இன் மதிப்புகளின் சில துணைக்குழுவில் X வருவதற்கான வாய்ப்புகள் என்ன?" எடுத்துக்காட்டாக, B = (ஒற்றைப்படை எண்கள்), B = (1 ஐ விட அதிகமாக), அல்லது B = (2 மற்றும் 7 க்கு இடையில்) Xஐக் கொண்ட அந்த முடிவுகளைக் குறிக்க, சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு, துணைக்குழு A. எனவே மேலே உள்ள உதாரணமாக, நீங்கள் நிகழ்வுகளை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம்.

(X என்பது ஒற்றைப்படை எண்), (X என்பது 1 ஐ விட பெரியது) = (X> 1), (X என்பது 2 மற்றும் 7 க்கு இடையில் உள்ளது) = (2

சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் விநியோக செயல்பாடுகள்

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் பரவல் செயல்பாடு கழித்தல் மூலம் இடைவெளியில் மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவை நாம் கணக்கிடலாம். இறுதிப் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பது அல்லது விலக்குவது பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டும்.

வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடிய எல்லையற்ற நிலை இடைவெளியைக் கொண்டிருந்தால், சீரற்ற மாறியை தனித்தன்மை என்று அழைப்போம். எனவே, X என்பது ஒரு சார்பு நாணயத்தின் மூன்று சுயாதீன புரட்டுகளில் உள்ள தலைகளின் எண்ணிக்கை, இது நிகழ்தகவு p உடன் உயர்கிறது. X க்கான தனித்த சீரற்ற மாறி FX இன் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். மூன்று அட்டைகளின் தொகுப்பில் உள்ள உச்சங்களின் எண்ணிக்கையை X ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் FX வழியாக Y = X3. FX 0 இல் தொடங்குகிறது, 1 இல் முடிவடைகிறது மற்றும் x மதிப்புகள் அதிகரிக்கும் போது குறையாது. தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் ஒட்டுமொத்த எஃப்எக்ஸ் விநியோக செயல்பாடு தாவல்களைத் தவிர நிலையானது. குதிக்கும் போது, ​​FX தொடர்ச்சியாக இருக்கும். வரையறையைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவு சொத்திலிருந்து விநியோகச் செயல்பாட்டின் சரியான தொடர்ச்சி பற்றிய அறிக்கையை நீங்கள் நிரூபிக்கலாம். இது இப்படிச் செல்கிறது: ஒரு நிலையான சீரற்ற மாறியானது ஒரு ஒட்டுமொத்த FX ஐக் கொண்டுள்ளது, இது வேறுபடுத்தக்கூடியது.

இது எவ்வாறு நிகழலாம் என்பதைக் காட்ட, ஒரு உதாரணம் கொடுக்கப்படலாம்: ஒரு அலகு ஆரம் கொண்ட இலக்கு. மறைமுகமாக. டார்ட் குறிப்பிட்ட பகுதியில் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சில λ> 0. இதனால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகள் சீராக அதிகரிக்கும். எஃப்எக்ஸ் ஒரு விநியோகச் செயல்பாட்டின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

அது வரும் வரை ஒரு மனிதன் பேருந்து நிறுத்தத்தில் காத்திருக்கிறான். காத்திருப்பு 20 நிமிடத்தை எட்டியதும் மறுப்பேன் என்று தானே முடிவு செய்து கொண்டான். இங்கே நீங்கள் T க்கான ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். நபர் இன்னும் பேருந்து நிலையத்தில் இருப்பார் அல்லது வெளியேற மாட்டார். ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறிக்கும் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டாலும். இருப்பினும், பிற குணாதிசயங்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும்: ஒரு தனி மாறிக்கான நிறை மற்றும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு. பொதுவாக மதிப்பு இந்த இரண்டு மதிப்புகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி வெளியீடு ஆகும்.

வெகுஜன செயல்பாடுகள்

இந்த மதிப்புகள் பின்வரும் பண்புகளால் கருதப்படுகின்றன, அவை பொதுவான (வெகுஜன) இயல்புடையவை. முதலாவது, நிகழ்தகவுகள் எதிர்மறையாக இல்லை என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இரண்டாவதாக, அனைத்து x=2Sக்கான தொகுப்பு, X க்கான மாநில இடைவெளி, X இன் நிகழ்தகவு சுதந்திரத்தின் ஒரு பிரிவை உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டு: ஒரு சார்பு நாணயத்தின் டாஸ்கள் அதன் முடிவுகள் சுயாதீனமாக இருக்கும். நீங்கள் இலக்குகளை அடையும் வரை சில செயல்களை தொடர்ந்து செய்யலாம். முதல் தலைக்கு முன் வால்களின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும் சீரற்ற மாறியை X குறிக்கலாம். மற்றும் p என்பது எந்த ஒரு செயலிலும் நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது.

எனவே, வெகுஜன நிகழ்தகவு செயல்பாடு பின்வரும் சிறப்பியல்பு அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. சொற்கள் ஒரு எண் வரிசையை உருவாக்குவதால், X ஒரு வடிவியல் சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் திட்டம் c, cr, cr2,. , crn ஒரு தொகை உள்ளது. எனவே n 1 ஆக இருக்கும்போது snக்கு வரம்பு உள்ளது. இந்த வழக்கில், எல்லையற்ற தொகை வரம்பு.

மேலே உள்ள வெகுஜன செயல்பாடு விகிதத்துடன் ஒரு வடிவியல் வரிசையை உருவாக்குகிறது. எனவே, இயற்கை எண்கள் a மற்றும் b உள்ளன. விநியோக செயல்பாட்டில் உள்ள மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு வெகுஜன செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

பரிசீலனையில் உள்ள அடர்த்தி மதிப்புகள் பின்வரும் வரையறையைக் கொண்டுள்ளன: X என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி, அதன் விநியோகம் FX ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது. FX திருப்திகரமான Z xFX (x) = fX (t) dt-1 நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் X ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தில், அடர்த்தி சார்பு என்பது விநியோகத்தின் வழித்தோன்றலாகும். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் நீங்கள் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடலாம்.

பல அவதானிப்புகளிலிருந்து தரவு சேகரிக்கப்படுவதால், சோதனை நடைமுறைகளை மாதிரியாக மாற்றுவதற்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் பரிசீலிக்கப்பட வேண்டும். எனவே, இந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பு மற்றும் இரண்டு மாறிகள் X1 மற்றும் X2 க்கான அவற்றின் கூட்டு விநியோகம் நிகழ்வுகளைப் பார்ப்பதைக் குறிக்கிறது. தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு, கூட்டு நிகழ்தகவு நிறை செயல்பாடுகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. தொடர்ச்சியானவற்றிற்கு, fX1, X2 ஆகியவை கருதப்படுகின்றன, அங்கு கூட்டு நிகழ்தகவு அடர்த்தி திருப்திகரமாக இருக்கும்.

சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்

இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் X1 மற்றும் X2 ஆகியவை அவற்றுடன் தொடர்புடைய இரண்டு நிகழ்வுகளும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அவை சுயாதீனமாக இருக்கும். வார்த்தைகளில், இரண்டு நிகழ்வுகள் (X1 2 B1) மற்றும் (X2 2 B2) ஒரே நேரத்தில் நிகழும் நிகழ்தகவு, y, அவை ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக நிகழும் மேலே உள்ள மாறிகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம். சுயாதீனமான தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு ஒரு கூட்டு நிகழ்தகவு நிறை செயல்பாடு உள்ளது, இது கட்டுப்படுத்தும் அயனி தொகுதியின் விளைபொருளாகும். சுயாதீனமான தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு, கூட்டு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு விளிம்பு அடர்த்தி மதிப்புகளின் தயாரிப்பு ஆகும். இறுதியாக, n சுயாதீன அவதானிப்புகள் x1, x2, கருதப்படுகின்றன. , xn தெரியாத அடர்த்தி அல்லது நிறை செயல்பாட்டிலிருந்து எழும் f. எடுத்துக்காட்டாக, பேருந்திற்கான காத்திருப்பு நேரத்தை விவரிக்கும் அதிவேக சீரற்ற மாறிக்கான செயல்பாடுகளில் அறியப்படாத அளவுரு.

சீரற்ற மாறிகளை உருவகப்படுத்துதல்

இந்த கோட்பாட்டுத் துறையின் முக்கிய குறிக்கோள், புள்ளிவிவர அறிவியலின் சிறந்த கொள்கைகளின் அடிப்படையில் அனுமான செயல்முறைகளை உருவாக்க தேவையான கருவிகளை வழங்குவதாகும். எனவே, மென்பொருளின் மிக முக்கியமான பயன்பாடானது, உண்மையான தகவலை உருவகப்படுத்துவதற்கு போலித் தரவை உருவாக்கும் திறன் ஆகும். உண்மையான தரவுத்தளங்களில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு பகுப்பாய்வு முறைகளைச் சோதித்து மேம்படுத்துவதை இது சாத்தியமாக்குகிறது. மாடலிங் மூலம் தரவின் பண்புகளை ஆராய இது தேவைப்படுகிறது. சீரற்ற மாறிகளின் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பல குடும்பங்களுக்கு, R அவற்றை உருவாக்குவதற்கான கட்டளைகளை வழங்குகிறது. மற்ற சூழ்நிலைகளுக்கு, பொதுவான விநியோகம் கொண்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையை மாதிரியாக்குவதற்கான முறைகள் தேவைப்படும்.

தனித்த சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் கட்டளை முறை. எளிய மற்றும் அடுக்கு சீரற்ற மாதிரிகளை உருவாக்க மாதிரி கட்டளை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, ஒரு வரிசை x கொடுக்கப்பட்டால், மாதிரி(x, 40) x இலிருந்து 40 உள்ளீடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, அதாவது அளவு 40 இன் அனைத்து விருப்பங்களும் சமமான நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும். இது மாற்று இல்லாமல் தேர்ந்தெடுக்க இயல்புநிலை R கட்டளையைப் பயன்படுத்துகிறது. தனித்த சீரற்ற மாறிகளை மாதிரியாக்கவும் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் வெக்டார் x மற்றும் வெகுஜன செயல்பாடு f இல் ஒரு நிலை இடத்தை வழங்க வேண்டும். மாற்றியமைத்தல் = TRUE என அழைப்பது, மாதிரி மாற்றத்துடன் நிகழும் என்பதைக் குறிக்கிறது. பின்னர், பொதுவான நிறை செயல்பாடு f ஐக் கொண்ட n சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரியைக் கொடுக்க, மாதிரி (x, n, replace = TRUE, prob = f) பயன்படுத்தப்படுகிறது.

1 என்பது மிகச்சிறிய மதிப்பு என்றும், 4 எல்லாவற்றிலும் பெரியது என்றும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. prob = f கட்டளை தவிர்க்கப்பட்டால், வெக்டார் x இல் உள்ள மதிப்புகளிலிருந்து மாதிரி ஒரே மாதிரியாக மாதிரி செய்யப்படும். இரட்டைச் சமமான குறி, == என்பதைக் குறிப்பதன் மூலம் தரவை உருவாக்கிய வெகுஜன செயல்பாட்டிற்கு எதிரான உருவகப்படுத்துதலை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். மற்றும் x க்கான ஒவ்வொரு சாத்தியமான மதிப்பையும் எடுத்துக் கொள்ளும் அவதானிப்புகளை எண்ணுதல். நீங்கள் ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கலாம். இதை 1000க்கு மீண்டும் செய்யவும் மற்றும் உருவகப்படுத்துதலை தொடர்புடைய வெகுஜன செயல்பாட்டுடன் ஒப்பிடவும்.

நிகழ்தகவு மாற்றத்தை விளக்குகிறது

முதலில், சீரற்ற மாறிகள் u1, u2, ஆகியவற்றின் ஒரே மாதிரியான விநியோக செயல்பாடுகளை உருவகப்படுத்தவும். , இடைவேளையில் ஐ.நா. 10% எண்கள் க்குள் இருக்க வேண்டும். இது காட்டப்படும் FX விநியோகச் செயல்பாட்டின் சீரற்ற மாறிக்கான ஒரு இடைவெளிக்கு 10% உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. அதேபோல், 10% சீரற்ற எண்கள் வரம்பில் இருக்க வேண்டும். இது விநியோக செயல்பாடு FX உடன் சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் 10% உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. x அச்சில் உள்ள இந்த மதிப்புகளை FX இன் தலைகீழ் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறலாம். X ஆனது அதன் டொமைனில் எல்லா இடங்களிலும் நேர்மறையாக இருக்கும் அடர்த்தி fX கொண்ட தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியாக இருந்தால், விநியோக செயல்பாடு கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது. இந்த வழக்கில், FX ஆனது FX-1 இன் தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது குவாண்டில் செயல்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. FX (x) u என்றால் x FX-1 (u) மட்டுமே. நிகழ்தகவு மாற்றம் U = FX (X) என்ற சீரற்ற மாறியின் பகுப்பாய்விலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

FX ஆனது 0 முதல் 1 வரையிலான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. இது 0 க்கும் குறைவான அல்லது 1 ஐ விட அதிகமான மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது. 0 மற்றும் 1 க்கு இடைப்பட்ட u இன் மதிப்புகளுக்கு. U மாதிரியாக இருந்தால், ஒரு சீரற்ற மாறியை உருவகப்படுத்துவது அவசியம் ஒரு அளவு செயல்பாடு மூலம் FX இன் விநியோகம். 1 க்குள் அடர்த்தி u மாறுபடுவதைக் காண வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சீரற்ற மாறி U அதன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் இடைவெளியில் நிலையான அடர்த்தியைக் கொண்டிருப்பதால், அது இடைவெளியில் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது. இது runif கட்டளையைப் பயன்படுத்தி R இல் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. அடையாளம் ஒரு நிகழ்தகவு மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. டார்ட் போர்டில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். X 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில், விநியோக செயல்பாடு u = FX (x) = x2, எனவே அளவு செயல்பாடு x = FX-1 (u) ஆகும். ஒரே மாதிரியான சீரற்ற மாறிகள் U1, U2, உருவாக்கும் போது, ​​டார்ட் பேனலின் மையத்திலிருந்து தூரத்தின் சுயாதீனமான அவதானிப்புகளை உருவகப்படுத்துவது சாத்தியமாகும். ,ஐ.நா. விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அனுபவமானது டார்ட் போர்டு விநியோகத்தின் 100 உருவகப்படுத்துதல்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு அதிவேக சீரற்ற மாறிக்கு, மறைமுகமாக u = FX(x) = 1 - exp(- x), எனவே x = - 1 ln(1 - u). சில நேரங்களில் தர்க்கம் சமமான அறிக்கைகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், நீங்கள் வாதத்தின் இரண்டு பகுதிகளையும் இணைக்க வேண்டும். குறுக்குவெட்டு கொண்ட அடையாளம் அனைத்து 2 (S i i) S க்கும், சில மதிப்புகளுக்குப் பதிலாக ஒத்ததாக இருக்கும். யூனியன் Ci என்பது ஸ்டேட் ஸ்பேஸ் S க்கு சமம் மற்றும் ஒவ்வொரு ஜோடியும் ஒன்றுக்கொன்று பிரத்தியேகமானது. ஏனெனில் Bi மூன்று கோட்பாடுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு சோதனையும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவு P. எந்த துணைக்குழுவிற்கும். இடைவெளியின் இறுதிப் புள்ளிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து பதில் இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் அதன் மாறிகள்

எல்லா நிகழ்வுகளிலும் உள்ள ஒவ்வொரு விளைவுக்கும், நிகழ்தகவுகளின் தொடர்ச்சியின் இரண்டாவது சொத்து இறுதியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது அச்சுநிலையாகக் கருதப்படுகிறது. இங்கே ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாட்டின் விநியோக விதி ஒவ்வொன்றுக்கும் அதன் சொந்த தீர்வு மற்றும் பதில் இருப்பதைக் காட்டுகிறது.

முந்தைய n° இல், தொடர்ச்சியற்ற சீரற்ற மாறியின் முழுமையான குணாதிசயமாக (விநியோகச் சட்டம்) விநியோகத் தொடரை அறிமுகப்படுத்தினோம். இருப்பினும், இந்த பண்பு உலகளாவியது அல்ல; இது இடைவிடாத சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே உள்ளது. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு அத்தகைய பண்புகளை உருவாக்க முடியாது என்பதை எளிதாகக் காணலாம். உண்மையில், ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது எண்ணற்ற சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியை முழுமையாக நிரப்புகிறது ("கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பு" என்று அழைக்கப்படும்). அத்தகைய சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் பட்டியலிடும் அட்டவணையை உருவாக்குவது சாத்தியமில்லை. மேலும், நாம் பின்னர் பார்ப்போம், ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட மதிப்பும் பொதுவாக எந்த பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவையும் கொண்டிருக்காது. இதன் விளைவாக, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு அது ஒரு இடைவிடாத மாறிக்கு இருக்கும் பொருளில் எந்த விநியோகத் தொடர்களும் இல்லை. இருப்பினும், ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் வெவ்வேறு பகுதிகள் இன்னும் சமமாக நிகழ்தகவு இல்லை, மேலும் ஒரு தொடர்ச்சியான மாறிக்கு "நிகழ்தகவு விநியோகம்" உள்ளது, இருப்பினும் இடைவிடாத ஒன்றின் அதே அர்த்தத்தில் இல்லை.

இந்த நிகழ்தகவு விநியோகத்தை அளவுகோலாக வகைப்படுத்த, நிகழ்வின் நிகழ்தகவை அல்ல, ஆனால் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, சில தற்போதைய மாறி இருக்கும் இடத்தில் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும். இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு வெளிப்படையாக சார்ந்துள்ளது, சில செயல்பாடு உள்ளது. இந்தச் சார்பு ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது குறிக்கப்படுகிறது:

. (5.2.1)

விநியோகச் செயல்பாடு சில நேரங்களில் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு அல்லது ஒட்டுமொத்த விநியோகச் சட்டம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

விநியோகச் சார்பு என்பது சீரற்ற மாறியின் மிகவும் உலகளாவிய பண்பு ஆகும். இது அனைத்து சீரற்ற மாறிகளுக்கும் உள்ளது: இடைவிடாத மற்றும் தொடர்ச்சியானது. விநியோக செயல்பாடு ஒரு நிகழ்தகவு பார்வையில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது. விநியோக சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும்.

விநியோகச் செயல்பாட்டின் சில பொதுவான பண்புகளை உருவாக்குவோம்.

1. விநியோகச் செயல்பாடு என்பது அதன் வாதத்தின் குறையாத செயல்பாடாகும், அதாவது. மணிக்கு.

2. மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியில், விநியோக செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் :.

3. பிளஸ் இன்ஃபினிட்டியில், விநியோகச் செயல்பாடு ஒன்றுக்கு சமம்: .

இந்த பண்புகளுக்கு கடுமையான ஆதாரத்தை வழங்காமல், காட்சி வடிவியல் விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றை விளக்குவோம். இதைச் செய்ய, ஒரு சீரற்ற மாறியை ஆக்ஸ் அச்சில் (படம் 5.2.1) ஒரு சீரற்ற புள்ளியாகக் கருதுவோம், இது சோதனையின் விளைவாக ஒரு நிலை அல்லது மற்றொரு நிலையை எடுக்கலாம். பின்னர் விநியோக செயல்பாடு என்பது சோதனையின் விளைவாக ஒரு சீரற்ற புள்ளி புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் விழும் நிகழ்தகவு ஆகும்.

நாம் அதிகரிப்போம், அதாவது, abscissa அச்சில் வலதுபுறமாக புள்ளியை நகர்த்துவோம். வெளிப்படையாக, இந்த விஷயத்தில், ஒரு சீரற்ற புள்ளி இடதுபுறமாக விழும் நிகழ்தகவு குறைக்க முடியாது; எனவே, விநியோக செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது குறைய முடியாது.

என்பதை உறுதிசெய்ய, காலவரையின்றி அப்சிஸ்ஸாவுடன் புள்ளியை இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம். இந்த வழக்கில், வரம்பில் ஒரு சீரற்ற புள்ளியை இடதுபுறமாகத் தாக்குவது சாத்தியமற்ற நிகழ்வாகிறது; இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்று நம்புவது இயற்கையானது, அதாவது. .

இதேபோல், புள்ளியை காலவரையின்றி வலதுபுறமாக நகர்த்துவதன் மூலம், நிகழ்வு வரம்பில் நம்பகமானதாக மாறுவதால், நாங்கள் உறுதிசெய்கிறோம்.

பொதுவான வழக்கில் விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்பது குறையாத செயல்பாட்டின் வரைபடமாகும் (படம் 5.2.2), இதன் மதிப்புகள் 0 இலிருந்து தொடங்கி 1 ஐ அடையும், மேலும் சில புள்ளிகளில் செயல்பாடு தாவல்களைக் கொண்டிருக்கலாம் ( இடைநிறுத்தங்கள்).

ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரை அறிந்தால், இந்த மாறியின் விநியோகச் செயல்பாட்டை ஒருவர் எளிதாகக் கட்டமைக்க முடியும். உண்மையில்,

,

கூட்டுக் குறியீட்டின் கீழ் உள்ள சமத்துவமின்மை, க்குக் குறைவான அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கூட்டுத்தொகை பொருந்தும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

தற்போதைய மாறியானது இடைவிடாத மதிப்பின் சாத்தியமான மதிப்புகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கடக்கும்போது, ​​விநியோக செயல்பாடு திடீரென மாறுகிறது, மேலும் தாவலின் அளவு இந்த மதிப்பின் நிகழ்தகவுக்கு சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பரிசோதனை செய்யப்படுகிறது, அதில் நிகழ்வு தோன்றலாம் அல்லது தோன்றாமல் இருக்கலாம். நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.3. சீரற்ற மாறி - ஒரு பரிசோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை (ஒரு நிகழ்வின் சிறப்பியல்பு சீரற்ற மாறி). அதன் விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. மதிப்பு விநியோகத் தொடரில் வடிவம் உள்ளது:

மதிப்பின் விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

விநியோக செயல்பாடு வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.2.3. இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளில், செயல்பாடானது வரைபடத்தில் புள்ளிகளால் குறிக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பெறுகிறது (செயல்பாடு இடதுபுறத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது).

எடுத்துக்காட்டு 2. முந்தைய உதாரணத்தின் நிபந்தனைகளின் கீழ், 4 சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்படுகின்றன. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. நான்கு சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்போம். இந்த அளவு ஒரு விநியோகத் தொடரைக் கொண்டுள்ளது

சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

3) மணிக்கு;

நடைமுறையில், வழக்கமாக ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் சார்பு என்பது படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி அனைத்து புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். 5.2.6. இருப்பினும், சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்குவது சாத்தியமாகும், அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியைத் தொடர்ந்து நிரப்புகின்றன, ஆனால் விநியோக செயல்பாடு எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியாக இல்லை, ஆனால் சில புள்ளிகளில் இடைநிறுத்தம் ஏற்படுகிறது (படம் 5.2.7) .

இத்தகைய சீரற்ற மாறிகள் கலப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு கலப்பு மதிப்பின் ஒரு உதாரணம், வெடிகுண்டு மூலம் இலக்குக்கு ஏற்படும் அழிவின் பகுதி, அதன் அழிவு நடவடிக்கையின் ஆரம் R க்கு சமம் (படம் 5.2.8).

இந்த சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள், I மற்றும் II வகைகளின் வெடிகுண்டு நிலைகளில் நிகழும் 0 முதல் வரையிலான இடைவெளியைத் தொடர்ந்து நிரப்புகிறது, ஒரு குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு உள்ளது, மேலும் இந்த மதிப்புகள் இடைநிலை மதிப்புகளில் இருக்கும்போது, ​​விநியோகச் செயல்பாட்டின் தாவல்களுக்கு ஒத்திருக்கும். (வகை III இன் நிலை) விநியோக செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது. ஒரு கலப்பு சீரற்ற மாறியின் மற்றொரு உதாரணம், நேர t க்காக சோதிக்கப்பட்ட சாதனத்தின் தோல்வி-இலவச செயல்பாட்டு நேரம் T ஆகும். இந்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு புள்ளி t தவிர எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ந்து இருக்கும்.

விநியோகச் செயல்பாடு F(x) செயல்பாடாகும், இது சோதனையின் விளைவாக சீரற்ற மாறி X ஆனது x ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது, அதாவது.

F(x) = P(X< x).

வடிவியல் ரீதியாக: F(x) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியானது எண் அச்சில் குறிப்பிடப்படும் மதிப்பை x புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியால் எடுக்கும் நிகழ்தகவு ஆகும். சில நேரங்களில் "விநியோக செயல்பாடு" என்பதற்கு பதிலாக "ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு" என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் செயல்பாடு தொடர்ச்சியான, ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலுடன் துண்டு துண்டாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக இருந்தால் அது தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விநியோக செயல்பாட்டின் பண்புகள்

• 1) விநியோக செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் பிரிவுக்கு சொந்தமானது:
• 0 F(x) 1.
• 2) F(x) என்பது குறையாத செயல்பாடு, அதாவது. F(x2)F(x1), x2 > x1 எனில்.
• 3) ரேண்டம் மாறி X இடைவெளியில் (a, b) உள்ள மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு இந்த இடைவெளியில் பரவல் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கு சமம்:

பி(அ? எக்ஸ்< b) = F(b) - F(a).

• 4) தொடர்ச்சியான, சீரற்ற மாறி X ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி ஒரு இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவைக் கருத்தில் கொள்வது அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தாலும், சிறியதாக இருந்தாலும்.
• 5) ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் சாத்தியமான மதிப்பு இடைவெளிக்கு (a, b) சேர்ந்ததாக இருந்தால்:

F(x) = 0, xக்கு? ஒரு;

F(x) = 1, x bக்கு.

6) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்பு முழு அச்சில் அமைந்திருந்தால், பிறகு

விநியோக செயல்பாடு வரைபடம்

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டின் வரைபடம், இடைவெளியில் (a, b) சேர்ந்த சாத்தியமான மதிப்புகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 1.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம், அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சாத்தியமான மதிப்புகள், படம். 2.

உதாரணமாக. செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குங்கள்

சோதனையின் விளைவாக, சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (2; 3) உள்ள மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. செயல்பாட்டு வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 3. ரேண்டம் மாறி X இடைவெளியில் (2, 3) உள்ள மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு இந்த இடைவெளியில் பரவல் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கு சமம்:

பி(2 ? எக்ஸ்< 3) = F(3) - F(2) = 1/2.

உதாரணமாக. கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையுடன் ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்: