Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до 
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность 
, где 
и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина 
называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение 
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.
Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.
Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.
Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком
Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.
Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.
Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.
2 . Оценка систематической (приборной) погрешности
При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.
Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна 
мВ.
Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна 
кг/м 3 .
Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.
При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины 
используется формула
, (1)
где 
- приборные ошибки прямых измерений величины 
, 
- частные производные функции по переменной .
В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид
.
Частные производные по переменным d и h будут равны
, 
.
Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид
,
где 
и 
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра
3. Оценка случайной погрешности.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.
погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,
чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.
График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид
, (2)
где 
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки 
, σ – средняя квадратичная ошибка.
Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.
Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического 
. Величина которой определяется по формуле
, (3)
где 
- результат i
-го измерения; 
- среднее арифметическое полученных значений; n
– число измерений.
Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде 
.
Интервал значений от 
до 
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом.
Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью,
или надежностью
измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)
Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.
Это распределение вероятностей случайной величины 
, называемой коэффициентом Стьюдента
, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .
. (4)
Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.
Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α
Таблица 1.
Пользуясь данными таблицы, можно:
определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;
выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.
При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле
. (5)
Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.
Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.
Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей
, (6)
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.
В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.
, α=…, Е=…
(7)
Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n
с большой ошибкой. При вычислении Δх
при числе измерений 
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх
= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх
=0,04, а если Δх
=0,123, то пишем Δх
=0,12.
Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.
4. Методика расчета погрешностей измерений.
Погрешности прямых измерений
При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.
. (8)
.
.
Определяется суммарная погрешность
Оценивается относительная погрешность результата измерений
.
Записывается окончательный результат в виде
, с α=… Е=…%.
5. Погрешность косвенных измерений
При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин 
, можно использовать два способа.
Первый способ
используется, если величина y
определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется 
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y
i
. (9)
Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.
Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле
Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде
, с α=… Е=…%.
6. Пример оформления лабораторной работы
Лабораторная работа №1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА
Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.
Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.
Порядок выполнения работы
Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.
Расчетная формула для вычисления объема цилиндра
где d – диаметр цилиндра; h – высота.
Результаты измерений
Таблица 2.
№ измерения | ||||||
| ; |
; 
.
; Е = 0,5%.
, Е = 0,5%.
1. Цель работы : изучение методов измерения физических величин, практических приемов обработки и анализа результатов измерений. Изучение нониусов.
2. Краткая теория
Методы измерения физических величин. Погрешности измерений
Измерение в широком смысле слова - это операция, посредством которой устанавливается численное соотношение между измеряемой величиной и заранее выбранной мерой. Мы будем рассматривать измерение физических величин.
Физическая величина - это свойство, общее в качественном отношении многим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении - индивидуальное для каждого физического объекта.
Измерить физическую величину - это значит сравнить её с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения.
Для измерения физических величин применяются различные технические средства, специально для этого предназначенные и имеющие нормированные метрологические свойства.
Поясним некоторые из указанных средств измерений.
Мера - это средство измерений в виде тела или устройства, предназначенного для воспроизведения величин одного или нескольких размеров, значения которых известны с необходимой для измерений точностью. Примером меры могут служить гиря, измерительная колба, масштабная линейка.
В отличие от меры измерительный прибор не воспроизводит известное значение величины. Измеряемая величина в нём преобразуется в показание или сигнал, пропорциональный измеряемой величине в форме, доступной для непосредственного воспроизведения. Примером измерительного прибора могут служить амперметр, вольтметр, термопара и пр.
Измерения физических величин могут отличаться друг от друга особенностями технического или методического характера. С методической точки зрения измерения физических величин поддаются определённой систематизации. Их можно, например, подразделять на прямые и косвенные.
Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с соответствующей единицей её измерения или определяется путём отсчёта показаний измерительного прибора, градуированного в соответственных единицах, то такое измерение называется прямым. Например, измерения толщины проволоки микрометром, промежутка времени секундомером, силы тока амперметром - являются прямыми.
Большинство физических величин измеряется косвенным путём. Косвенным называется такое измерение, при котором искомая физическая величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по результатам прямых измерений некоторых вспомогательных величин, связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью.
При любых измерениях физических величин получаются результаты, которые неизбежно содержат погрешности (ошибки). Эти погрешности обусловлены самыми разнообразными причинами (несовершенство мер и измерительных приборов, несовершенство наших чувств). Результаты измерений являются, поэтому лишь приближёнными, более или менее близкими к истинным значениям измеряемых величин.
Разность между истинным значением измеряемой величины х и фактически измеренным называется истинной абсолютной погрешностью, или ошибкой измерения:
Отношение истинной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины х называется истинной относительной погрешностью измерения:
Относительная погрешность - величина отвлечённая, она выражается в долях единицы или в процентах и поэтому позволяет сравнивать точность независимых друг от друга выполненных измерений (например, точность измерения диаметра и высоты цилиндра).
Так как никакое измерение не может дать истинного значения измеряемой величины, то задачей измерения любой физической величины является нахождение приближённого наиболее вероятного значения этой величины, а также определение и оценка допущенной при этом погрешности.
Погрешности (ошибки), которые имеют место при измерении физических величин, подразделяются на три группы: грубые, систематические, случайные. Грубые ошибки (промахи)- это ошибки, явно искажающие результаты измерений. Причинами грубых ошибок могут быть неисправности экспериментальной установки или измерительного прибора. Но чаще всего это следствие ошибок самого экспериментатора: неправильное определение цены деления измерительного прибора, неверный отсчёт делений, но шкале прибора, ошибочная запись результатов прямых измерений и т. п. В дальнейшем изложении, будем предполагать, что измерения не содержат грубых ошибок (промахов).
Систематические погрешности обусловлены действием постоянных по величине и направлению факторов. Например, неточностью изготовления мер, неправильной градуировкой шкал или неправильной установкой измерительных приборов, а также постоянным и односторонним воздействием на измеряемую величину или измерительную установку какого-либо внешнего фактора.
При повторных измерениях данной величины в одинаковых условиях систематическая погрешность каждый раз повторяется, имея одну и ту же величину и знак, или изменяется по определённому закону. При внимательном анализе принципа действия применяемых приборов, методики измерения и окружающих условий, систематические погрешности можно либо исключить в самом процессе измерения, либо учесть в окончательном результате измерений, внеся соответствующую поправку.
Случайные погрешности обусловлены действием большого числа самых разнообразных, как правило, переменных факторов, в своём большинстве не поддающихся учёту и контролю и проявляющихся в каждом отдельном измерении по-разному. В силу неупорядоченности совокупного действия этих факторов предвидеть появление случайной погрешности и предугадать её величину и знак невозможно. Погрешность такого рода потому и называется случайной, что появление её - дело случая, появление её не вытекает из данных условий эксперимента. Она может быть, а может и не быть.
Случайные погрешности проявляют себя в том, что при неизменных условиях эксперимента и при полностью исключённых систематических погрешностях результаты повторных измерений одной и тон же величины оказываются несколько отличающимися друг от друга. Случайные погрешности, по указанным выше причинам не могут быть исключены из результатов измерений, как, например, погрешности систематические.
3акон распределения случайных погрешностей
Полностью избежать или исключить совершенно случайные погрешности невозможно, так как факторы, их вызывающие, не поддаются учёту и носят случайный характер. Возникает вопрос: как уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат измерения и как оценить точность и достоверность последнего? Ответ на этот вопрос даёт теория вероятностей. Теория вероятностей - это математическая наука, выясняющая закономерности случайных событий (явлений), которые проявляются при действии большого числа случайных факторов.
Случайные погрешности измерений относятся к группе непрерывных величин. Непрерывные величины характеризуются бесчисленным множеством возможных значений. Вероятность любого значения непрерывной случайной величины бесконечно мала. Поэтому, чтобы выявить распределение вероятностей для какой-то непрерывной случайной величины, например, величины , рассматривают ряд интервалов значений этой величины и подсчитывают частоты попадания значений величины в каждый интервал . Таблица, в которой приведены интервалы в порядке их распределения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты, называется статистическим рядом (табл. 1).
Таблица 1
| Интервалы I | . . . . . . . | . . . . . . . | ||||
| Частоты Р* | . . . . . . . | . . . . . . . |
Статистический ряд графически представляется в виде ступенчатой кривой, которую называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы возможных значений случайной величины, а по оси ординат - частоты или число случаев, когда значение случайной величины попадает в данный интервал. Для большинства интересующих нас случайных погрешностей гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1. На этом рисунке высота, а следовательно, и площадь прямоугольника для каждого интервала ошибок пропорциональны числу опытов, в которых данная ошибка наблюдалась.
При увеличении числа опытов (измерений) и уменьшении интервала разбиения оси абсцисс гистограмма теряет свой ступенчатый характер и стремится (переходит) к плавной кривой (рис. 2). Такую кривую называют кривой плотности распределения для данной случайной величины, а уравнение, описывающее эту кривую, называется законом распределения случайной величины.
Считается, что случайная величина полностью определена, если известен закон её распределения. Этот закон может быть представлен (задан) в интегральной или дифференциальной форме. Интегральный закон распределения случайной величины обозначается символом и называется функцией распределения. Производная функция от называется плотностью вероятности случайной величины X или дифференциальным законом распределения:
.
При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно бывает указать только её некоторые числовые характеристики, например, её математическое ожидание (можно писать ) и дисперсию (можно писать ).
Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности математическое ожидание вычисляется по формуле
. (3)
Для непрерывной случайной величины X дисперсия определяется по формуле:
. (4)
Положительный квадратный корень из дисперсии обозначается символом и называется средним квадратическим отклонением (сокращенно с. к. о.):
. (5)
При конечном числе опытов в качестве оценки принимают среднее арифметическое наблюденных (измеренных) значений , т. е. и и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение - параметры нормального распределения, физический смысл и способ вычисления которых были пояснены выше.
При рассмотрении свойств и характеристик распределения случайных погрешностей мы ограничимся только нормальным законом, так как случайные погрешности измерений чаще всего распределяются нормально (по закону Гаусса). Это означает:
1) случайная погрешность измерения может принимать любые значения в интервале
2) случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто;
3) чембольше по абсолютной величине случайные погрешности, тем они менее вероятны, то есть встречаются реже.
а) Погрешности измерений.
Количественная сторона процессов и явлений в любом эксперименте изучается с помощью измерений, которые делятся на прямые и косвенные.
Прямым называется такое измерение, при котором значение, интересующее экспериментатора величины находятся непосредственно из отсчета по прибору.
Косвенное - это измерение, при котором значение величины находится как функция других величин. Например, сопротивление резистора определяют по напряжению и току (R=).
Измеренное
значение х
изм. некоторой
физической величиных
обычно
отличается от ее истинного значениях
ист.. Отклонение результата,
полученного на опыте, от истинного
значения, т.е. разностьх
изм. –х
ист. = ∆х
– называется
абсолютной ошибкой измерения, а
– относительной ошибкой (погрешностью)
измерения. Погрешности или ошибки
делятся на систематические, случайные
и промахи.
Систематическими ошибками называются такие ошибки, величина и знак которых от опыта к опыту сохраняется или изменяется закономерно. Они искажают результат измерений в одну сторону – либо завышая, либо занижая его. Подобные ошибки вызываются постоянно действующими причинами, односторонне влияющие на результат измерений (неисправность или малая точность прибора).
Ошибки, величина и знак которых непредсказуемым образом изменяются от опыта к опыту, называются случайными. Такие ошибки возникают, например, при взвешивании из-за колебаний установки, неодинакового влияния трения, температуры, влажности и т.д. Случайные ошибки возникают и из-за несовершенства или дефекта органов чувств экспериментатора.
Случайные погрешности исключить опытным путем нельзя. Их влияние на результат измерения может быть оценено с помощью математических методов статистики (малые выборки).
Промахами или грубыми погрешностями называются погрешности, существенно превышающие систематические и случайные погрешности. Наблюдения, содержащие промахи отбрасываются как недостоверные.
б) Обработка результатов непосредственных измерений.
Для
надежности оценки случайных погрешностей
необходимо выполнить достаточно большое
количество измерений п
. Допустим,
что в результате непосредственных
измерений получены результатых
1 ,х
2 ,х
3 , …,х
п
.
Наиболее вероятное значение определяется
как среднее арифметическое, которое
при большом числе измерений совпадает
с истинным значением:
.
Затем
определяют среднюю квадратичную ошибку
отдельного измерения:
.
При этом можно оценить наибольшую среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения: S наиб. = 3S.
Следующий этап заключается в определении средней квадратичной ошибки среднего арифметического:
.
Ширина доверительного интервала около
среднего значения
измеряемой величины будет определяться
поабсолютной погрешности среднего
арифметического:
,
гдеt α , n
– так называемый коэффициент
Стьюдента для числа наблюденийп
и
доверительной вероятности α (табличная
величина). Обычно доверительная
вероятность в условиях учебной
лаборатории выбирается 0,95 или 95%. Это
значит, что при многократном повторении
опыта в одних и тех же условиях, ошибки,
в 95 случаях из 100 не превысят значения
.
Интервальной оценкой измеряемой величиныxбудет доверительный
интервал
,
в который попадает её истинное значение
с заданной вероятностью α. Результат
измерения записывается:
.
Эту запись можно понимать как неравенство:.
Относительная
погрешность:
Е ≤ 5% в условиях учебной лаборатории.
в) Обработка результатов косвенных измерений.
Если величину у измеряют косвенным
методом, т.е. она является функцией п
независимых величинх
1 ,х
2 ,
…,х
п
: у =f(х
1 ,х
2 , …,х
п
), а значит
.
Средняя квадратичная ошибка среднего
арифметического определяется по формуле:
,
где
частные производные вычисляются для
средних значений
вычисляется
по формуле средней квадратичной ошибки
для непосредственного измерения.
Доверительная вероятность для всех
погрешностей, связанных с аргументамих
i
функции
у задается одинаковый (Р = 0,95), такой же
она задается и для у. Абсолютная
погрешность
среднего значения
определяется по формуле:
.
Тогда
или.
Относительная погрешность
будет равна Е =
≤5%.
Порядок обработки результатов прямых измерений
1. Перед обработкой результатов измерений крайне важно задать значение доверительной вероятности α (обычно 0,9 или 0,95).
2. Проанализировать таблицу записи результатов и выявить возможные промахи. Результаты, содержащие промахи, следует отбросить.
3. Вычислить среднее арифметическое значение серии измерений:
где n – число измерений, A i – результат i -го измерения.
4. Найти погрешности отдельных измерений:
ΔА i = А i – ‹А›. (2)
5. Вычислить среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата серии измерений:
(3)
6. Оценить вклад случайных погрешностей в полуширину доверительного интервала:
ΔА с = t (n, α)S (A ), (4)
где t (n, α) – коэффициент Стьюдента (таблица 1).
Таблица 1 - Коэффициент Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности α и различном количестве опытов n
| α | Количество опытов, n | ||||||||||||||
| 0,9 | 6,3 | 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 |
| 0,95 | 12,7 | 4,3 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,4 | 2,4 | 2,3 | 2,3 | 2,2 | 2,2 | 2,1 | 2,1 | 2,0 | 2,0 |
| 0,99 | 63,7 | 9,9 | 5,8 | 4,6 | 4,0 | 3,7 | 3,5 | 3,4 | 3,3 | 3,2 | 3,1 | 2,9 | 2,8 | 2,8 | 2,7 |
7. Определить погрешность прибора ΔА пр (абсолютная погрешность прибора указана в паспорте прибора или рассчитывается на основании класса точности прибора).
8. Найти полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность) измеряемой величины по приближенной формуле:
(5)
(Более точные формулы для обработки результатов прямых измерений приведена, к примеру, в ).
9. Записать результат измерений в виде доверительного интервала:
А= (‹A› ± ΔА ) ед.изм., α = … (6)
10. Определить относительную погрешность:
(7)
Порядок обработки результатов прямых измерений - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Порядок обработки результатов прямых измерений" 2017, 2018.
Результатов измерений
Основные понятия, термины и определения
Измерение – определение значения физической величины опытным путем. Измерения подразделяются на две группы: прямые и косвенные. Прямое измерение - нахождение значения физической величины непосредственно с помощью приборов. Косвенное измерение – нахождение искомой величины на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, найденными в процессе прямых измерений. Например, для определения ускорения равноускоренного движения тела можно использовать формулу , гдеS - пройденный путь, t – время движения. Путь и время движения находят непосредственно в ходе эксперимента, то есть в процессе прямых измерений, а ускорение можно рассчитать по приведенной формуле и, следовательно, его значение будет определено в результате косвенного измерения.
Отклонение результата прямого или косвенного измерения от истинного значения искомой величины называется погрешностью измерения . Погрешности прямых измерений обусловлены возможностями измерительных приборов, методикой измерений и условиями проведения эксперимента. Погрешности косвенных измерений обусловлены “переносом” на искомую величину погрешностей прямых измерений тех величин, на основе которых она рассчитывается. По способу числового выражения различают абсолютные погрешности (ΔА ), выраженные в единицах измеряемой величины (А ), и относительные погрешности δA =(ΔA /A )·100%, выраженные в процентах.
Существуют погрешности трех видов: систематические, случайные и промахи.
Под систематическими погрешностями понимают те, причина возникновения которых остается постоянной или закономерно изменяется в течение всего процесса измерения. Источниками систематических погрешностей обычно являются неправильная юстировка приборов, закономерно изменяющиеся внешние факторы, неправильно выбранная методика измерений. Для выявления и исключения систематических погрешностей необходимо предварительно проанализировать условия измерения, провести контрольные поверки измерительных приборов и сопоставить получаемые результаты с данными более точных измерений. К неисключаемым систематическим погрешностям, которые необходимо учитывать при обработке результатов, относят погрешности используемых приборов и инструментов (приборные погрешности).
Приборная погре шность равна половине цены деления прибора ΔA пр = ЦД/2 (для приборов типа линейки, штангенциркуля, микрометра) или определяется по классу точности прибора (для стрелочных электроизмерительных приборов).
Под классом точности прибора γ понимают величину, равную:
где ΔA пр приборная погрешность (максимальная допустимая абсолютная погрешность, одинаковая для всех точек шкалы); A max предел измерения (максимальное значение показаний прибора).
Для электронных приборов формулы для расчета приборной погрешности приводятся в паспорте прибора.
Случайные погрешности возникают в результате действия различных случайных факторов. Этот вид погрешностей обнаруживается при многократном измерении одной и той же величины в одинаковых условиях с помощью одних и тех же приборов: результаты серии измерений несколько отличаются друг от друга случайным образом. Вклад случайных погрешностей в результат измерения учитывают в процессе обработки результатов.
Под промахами понимают большие погрешности, резко искажающие результат измерения. Они возникают как следствие грубых нарушений процесса измерений: неисправности приборов, ошибок экспериментатора, скачков напряжения в электрической цепи и т.д. Результаты измерений, содержащие промахи, должны быть отброшены в процессе предварительного анализа.
С целью выявления промахов и последующего учета вклада случайных и приборных погрешностей прямые измерения искомой величины проводят несколько раз в одних и тех же условиях, то есть проводят серию равноточных прямых измерений. Целью последующей обработки результатов серии равноточных измерений является:
Результат прямого или косвенного измерения должен быть представлен следующим образом:
А= (‹А› ± ΔА ) ед.изм., α = …,
где ‹А› – среднее значение результата измерений, ΔА – полуширина доверительного интервала, α – доверительная вероятность. При этом необходимо учитывать, что численное значение ΔА должно содержать не более двух значащих цифр, а значение ‹А› должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и ΔА .
Пример: Результат измерения времени движения тела имеет вид:
t = (18,5 ± 1,2) c; α = 0,95.
Из этой записи следует, что с вероятностью 95 % истинное значение времени движения лежит в интервале от 17,3 с до 19,7 с.