Множества и операции над ними.
Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.
Цель урока: Показать множества – как фундамент современного математического языка.
Задачи урока:
образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множеств; способами задания множеств; видами множеств;
развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении заданий.
Ход урока
I этап. Формулировка темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.
Какие числа вы видите на экране? (натуральные, целые, рациональные, действительные)
Как называют эту схему? (Круги Эйлера)
С какой темой связаны круги Эйлера? (множества чисел).
Как вы думаете, кроме множества чисел есть другие множества?
Что такое множество? (Множество – это определенное количество объектов с похожими свойствами)
БЛИЦ-ОПРОС:
Какие названия применяются для обозначения множеств животных?
Какие названия применяются для обозначения множеств военнослужащих?
Как называется множество цветов, стоящих в вазе?
Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?
Как называется множество царей (фараонов, императоров и т.д.) данной страны, принадлежащих одному семейству?
Как называется множество картин?
Как называется множество документов?
II этап. Ознакомление с новым материалом.
А в математике нет точного определения множества. Но каждый объект, входящий во множество называется его элементом. Откройте учебник на стр.25 и найдите таблицу
Приведите пример собственного множества (множество дней недели; множество планет солнечной системы; множество месяцев; множество знаков зодиака; числовые множества).
Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством В. Обозначение: А ⊂ В. Знак « ⊂ » - знак включения.
На доске А = 3,4,5 В= 1,2,3,4,5,6.
С множествами связаны различные парадоксы, самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея". Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.
Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление.
Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Бриться или не бриться – вот в чём вопрос!
III этап. Динамическая пауза
1. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторить 4–5 раз.
2. Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть глаза и посмотреть вдаль (считать до 5). Повторить 4–5 раз.
3. Движения глаз: вверх, вниз, влево, вправо. Повторить 4-5 раз
4. Повороты головой: вверх, вниз, влево, вправо. Повторить 4-5 раз
IV этап. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения.
Откройте задачник на стр.21 пункт 3. Мы выполняем задания, записанные на доске №1, 2, 9
V этап. Самостоятельная работа(Приложение)
VI этап Домашнее задание
Пункт 3 изучить № 4, 8, 10, 18 (дополнительно)
VII этап. Подведение итогов урока.
Что такое множество?
Кто такой Леонард Эйлер?
Что такое подмножество множества?
На прошлых уроках мы говорили о рациональных неравенствах, сегодня о множествах. Кто догадался какая тема будет следующей?
Доска |
Список использованных источников и литературы:
Учебники «Алгебра. 9 кл.I и II части» Авторы: А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др.,- 11-е издание, стер. - М.: «Мнемозина», 2009 г.;
http://mathlog.h11.ru/mnoj.htm ;
http://festival.1september.ru ;
http://mmmf.msu.ru/archive/20092010/Lanin/9.html;
http://www.it-n.ru;
Занимательные математические задачи. Учеб.пособие./Сост.: А. М. Быковских, Г.Я. Куклина. 2-е изд., испр. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010. 88 с.;
Математика: Нестандартные задачи./Сост.: А.М.Быковских, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики, КрасГУ.-Красноярск, 2006. 27 с.;
Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. (Серия: «Библиотека
«Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. - 40 с.: ил.
Самостоятельная работа ученика 9 класса__________________
Вариант 1 №1 Дано множество К= {-10, 3; -7; 0; 2,6; 3} Составьте его подмножество М, состоящее из неотрицательных чисел: Ответ: М= { } №2. Какое словесное описание у множества? А= {1,3,5,7,9,11,13, 15…} Ответ: Это множество _____________________ чисел №3.Составьте три слова, буквы которых образуют подмножества множества А={к,а,р,у,с,е,л,ь} |
Муниципальное общеобразовательное учреждение-
Открытый урок по теме: « Множества. Подмножества. Операции над множествами»
5 класс
Учителя математики
Сычук В.Д.
МОУ - Лицей №2
Г.Саратов
Урок: Множества. Подмножества. Операции над множествами.
Цель урока : 1)повторить основные понятия множества, подмножества,
операции над множествами;
2)развитие логического мышления через решение
нестандартных задач, систематизацию и обобщение,
развитие математической речи
3)воспитание внимательности, интереса к предмету,
Расширение кругозора.
Тип урока : повторительно-обобщающий.
Метод обучения : дидактическая игра – соревнование.
Способ организации деятельности : частично-поисковый.
Оборудование : 1)интерактивная доска;
2)карточки с заданиями для самостоятельной работы
И задачами;
3)карточки с индивидуальными заданиями;
Оформление класса:
1й слайд : Число, тема, эпиграф.
«Множество есть многое мыслимое как единое целое»
Георг Кантор.
Ход урока.
I . Организация.
Разминка.
Конкурс теоретиков (самостоятельно 3 человека по карточкам на доске).
Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Решение задачи (коллективно).
Домашнее задание.
Итог урока.
Сообщить тему урока, эпиграф, план урока.
Класс разбивается на две группы (по вариантам)
Условия игры: 1) Четкие и точные ответы;
2)Скорость;
3)Дисциплина.
Реплика учителя: «И пусть в этой борьбе победит умнейший!»
II . Разминка.
1.Что означает слово «множество»?
Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы.
2.Какие названия применяются для обозначения множеств?
Стадо, табун, коллектив, семья, оркестр, библиотека.
3.Как различаются множества по числу элементов?
Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество.
4.Какими способами можно задать множество?
Множество можно задать перечислением или с помощью характеристического свойства.
5.Какое свойство называется характеристическим свойством?
Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты.
6.2йслайд
:
В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторыми свойствами.
Опишите его и найдите лишний элемент.
А= х I х - пустыня
Лишний элемент- кувшинка .
7. 3й слайд :
Что называется подмножеством множества А?
-Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.
8. 4й слайд :
9.Что называется пересечением множеств А и В?
Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые содержатся в А и В одновременно.
10.Что называется объединением множеств А и В?
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.
11. 5й слайд : Найти пересечение геометрических фигур
12. 6й слайд :
III . Конкурс теоретиков
Вызываются 3 человека, которые работают по карточкам.
Карточка№1
Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику. Кролик угостил их вареньем. Винни-Пух и Пятачок вместе съели 32 ложки варенья, а Винни-Пух и Кролик – 23 ложки варенья.
Сколько ложек варенья съели все три героя?
Карточка№2
А= х│хєN ; 2≤х≤7
В= х│хєN ; 4≤х≤9
Задайте множества перечислением. Найдите АU В; А В; А\ В; В\А. Изобразите решение на числовой прямой.
Карточка №3
Запишите все подмножества множества a ;b ;с;d .
На сцене висели 5 лампочек. Сколько существует способов освещения сцены?
IV . Конкурс «Кто быстрее». Самостоятельная работа
Самостоятельная работа по карточкам.
Файлы с заданиями в двух вариантах находятся на каждой парте.
Через 7 минут ребята обмениваются тетрадями и сверяют ответы с решениями на интерактивной доске.
7 слайд:
Оценка «5» - нет ошибок
«4» - одна ошибка
«3» - не ставится
8й слайд :
Решение:
Обозначим стоимость коровы –n (А), овцы – n (В), козы – n (С),свиньи –n (D )
n (А U В U С U D )=1325рублей
n (В U C U D )= 425 рублей
n(A U D U B)= 1225 рублей
n (С U D )=275 рублей
1.n (A )=n (А U В U С U D )- n (В U C U D )=1325-425=900рублей - стоимость коровы
2.n (C )= n (А U В U С U D )- n (A U D U B )=1325-1225=100 рублей - стоимость козы
3.n (B )= n (В U C U D )- n (С U D )=425- 275=150 рублей - стоимость овцы
4.n (D )= n (С U D )-n (C )=275-100=175 рублей- стоимость свиньи
Ответ: корова стоит 900р., коза- 100р., овца-150р., свинья-17
Дополнительная задача:
9й слайд:
VII .Итоги игры
В заключении проводятся итоги.
Домашнее задание заранее написано на доске:
Составить задачи на 1)пересечение и объединение геометрических фигур, 2)распиливание; 3)задание множеств и подмножеств с помощью характеристического свойства.
И все-таки победила дружба.
Спасибо за урок, дети!
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ (3 ч) У р о к 1 Цели: познакомить учащихся с понятием множества, способами задания и описания множеств; учить задавать множества различными способами; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Изучение нового материала. 1. Знакомство с новым понятием начнем с рассмотрения становления и развития языка математики со времен Галилео Галилея (1564–1642) до наших дней. 2. Современный математический язык более краток и в первую очередь заменяет естественный, разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Он более формализован и унифицирован, то есть подходит к рассмотрению сразу многих однотипных случаев. Более 100 лет фундаментом современного математического языка являются простейшие понятия и обозначения языка теории множеств. 3. Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в какомнибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри скобок { , }. Словесное, поэлементное описание множества, задание множества перечислением его элементов можно рассмотреть в таблице на с. 25 учебника. 4. Замечание 1 на с. 25 (прочитать в учебнике). 5. Множество, элементами которого являются числа, называется числовым. Для числовых множеств есть естественный порядок перечисления их элементов от меньшего числа к большему числу. 6. Рассмотреть решение примера 1 на с. 25–26 учебника. 7. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается символом – Ø. 8. Если число элементов множества достаточно велико (например, несколько десятков, сотен и т. д.) или если множество бесконечно (например, множество всех натуральных или множество всех целых чисел), то явное перечисление элементов такого множества невозможно. Способы задания, описания таких множеств весьма разнообразны. 9. Рассмотреть примеры в таблице на с. 26–27 учебника. 10. Рассмотреть примеры 2–3 на с. 28–29 учебника. 11. Такие словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х является элементом множества А» в математике более кратко записывают так: x A. Смысл знака принадлежности легко запомнить: – это перевернутая буква «Э», то есть буква, с которой начинается слово элемент. Знак – это отрицание знака принадлежности . Запись x A означает, что х не является элементом множества А. 12. Рассмотреть примеры использования этих знаков на с. 30 учебника. 13. Рассмотреть пример 4, с. 30 учебника. 14. Замечание 2 на с. 30 (прочитать в учебнике). II. Закрепление изученного материала. 1. Решить № 531 (a; б) на с. 112 задачника.
х х 0; 3 a) {6; 7; 8; …}, б) {–6; –5; –4; –3; –2; –1}. 2. Решить № 532 на с. 112 задачника. а) множество всех четных цифр. б) все числа вида х + 1, где х ненулевая цифра. в) множество натуральных чисел, кратных трем, которые меньше 31. г) заглавные буквы английского алфавита. 3. Решить письменно № 533 (а, б) на с.112. a) 13 3 х 13; 1 4 . 3 (О т в е т: х 1; х х 1 0; х х 1 х х 1 4 2 х 1 х 5 1 5 1 5 ; 4 ]. 1 3 б) 0; 0 О т в е т: (–1; 2). 4. Решить устно №534 на с.112. а) нет, б) да, в) нет, г) да. 5. Решить № 535 (а, б) на с.112. а) Следует найти множество всех х таких, что является решением неравенства x2 ≤ 0, то есть надо решить данное неравенство. Его решением является одно число х = 0. О т в е т: {0}. б) Следует найти множество всех х таких, что являются решением неравенства x2 + 18x ≤ –81, то есть надо решить данное неравенство
x2 + 18x ≤ –81; x2 + 18x + 81 ≤ 0; y = x2 + 18x + 81 x2 + 18x + 81 = 0 D = 182 – 4 1 81 = 324 – 324 = 0 x 9. 18 2 Решением данного неравенства является одно число х = –9. О т в е т: {–9}. 5. Решить № 536 (б, г) на с.113. б) Нет. Подставим х = 0,7 в неравенство x2 + 16x ≤ –64. Получим неверное числовое неравенство 11,69 ≤ –64. 0,003999 2,999 0. г) Да. Подставим х = 1,001. Получим верное числовое неравенство О т в е т: б) нет; г) да. 6. Решить № 537 на с.113. a) x(x2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) – x2 x3 + 19x + 6 = 6x2 + 9x + 4x + 6 – x2 x3 + 19x + 6 – 6x2 – 9x – 4x – 6 + x2 = 0 x3 – 5x2 + 6x = 0 x1 = 0 D = 25 – 24 = 1 x2 = 3, x3 = 2. О т в е т: 0; 2; 3. б) M = {0; 2; 3}. в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}. г) 6. О т в е т: а) 0, 2, 3; б) M = {0; 2; 3}; в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}; г) 6. III. Итоги урока. Перечислить способы задания и описания множеств. Домашнее задание: изучить материал § 17 на с. 23–30 учебника; решить № 533 (в, г); № 535 (в, г); № 53 6 (а, г); №547 (б) на с. 112114 задачника.
Бадамшинская средняя школа №2
Открытый урок по теме:
«Множества. Подмножества.
Операции над множествами»
Учителя математики
Бабенко Л.Г.
с.Бадамша
Урок: Множества. Подмножества. Операции над множествами.
Цель урока : 1)повторить основные понятия множества, подмножества, операции над множествами; 2)развитие логического мышления через решение нестандартных задач, систематизацию и обобщение, развитие математической речи, 3) воспитание внимательности, интереса к предмету, расширение кругозора.
Тип урока : повторительно-обобщающий.
Метод обучения : дидактическая игра – соревнование.
Способ организации деятельности : частично-поисковый.
Оборудование : 1)интерактивная доска; 2)карточки с заданиями для самостоятельной работы и задачами; 3)карточки с индивидуальными заданиями;
Оформление класса:
1й слайд : Число, тема, эпиграф.
«Множество есть многое мыслимое как единое целое»
Георг Кантор.
Ход урока.
I . Организация.
Разминка.
Конкурс теоретиков (самостоятельно 3 человека по карточкам на доске).
Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Решение задачи (коллективно).
Домашнее задание.
Итог урока.
Сообщить тему урока, эпиграф, план урока.
Класс разбивается на две группы (по вариантам)
Условия игры: 1) Четкие и точные ответы;
2)Скорость;
3)Дисциплина.
Реплика учителя: «И пусть в этой борьбе победит умнейший!»
II . Разминка.
1. Что означает слово «множество»?
Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы.
2. Какие названия применяются для обозначения множеств?
Стадо, табун, коллектив, семья, оркестр, библиотека.
3. Как различаются множества по числу элементов?
Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество.
4. Какими способами можно задать множество?
Множество можно задать перечислением или с помощью характеристического свойства.
5.Какое свойство называется характеристическим свойством?
Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты.
6. 2йслайд
: 
В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторыми свойствами.
Опишите его и найдите лишний элемент.
А= х I х - пустыня Лишний элемент- кувшинка .
7. 3й слайд :
Что называется подмножеством множества А?
-Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.
8. 4й слайд :
9.Что называется пересечением множеств А и В?
Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые содержатся в А и В одновременно.
10.Что называется объединением множеств А и В?
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.
11. 5й слайд : Найти пересечение геометрических фигур
12. 6й слайд :
III . Конкурс теоретиков
Вызываются 3 человека и работают по карточкам.
Карточка№1
Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику. Кролик угостил их вареньем. Винни-Пух и Пятачок вместе съели 32 ложки варенья, а Винни-Пух и Кролик – 23 ложки варенья.
Сколько ложек варенья съели все три героя?
Карточка№2
А= х│хєN; 2≤х≤7
В= х│хєN; 4≤х≤9
Задайте множества перечислением. Найдите АUВ; А В; А\ В; В\А. Изобразите решение на числовой прямой.
Карточка №3
Запишите все подмножества множества a;b;с;d .
На сцене висели 5 лампочек. Сколько существует способов освещения сцены?
IV . Конкурс «Кто быстрее». Самостоятельная работа
Самостоятельная работа по карточкам.
Файлы с заданиями в двух вариантах находятся на каждой парте.
Через 7 минут ребята обмениваются тетрадями и сверяют ответы с решениями на интерактивной доске.
7 слайд:
Оценка «5» - нет ошибок
«4» - одна ошибка
«3» - не ставится
8й слайд :
Решение:
Обозначим стоимость коровы –n (А), овцы – n(В), козы – n(С)свиньи –n(D)
n(А U В U С U D)=1325рублей
n(В U C U D)= 425 рублей
n(A U D U B)= 1225 рублей
n(С U D)=275 рублей
1.n(A)=n(А U В U С U D)- n(В U C U D)=1325-425=900рублей - стоимость коровы
2.n(C)= n(А U В U С U D)- n(A U D U B)=1325-1225=100 рублей - стоимость козы
3.n(B)= n(В U C U D)- n(С U D)=425- 275=150 рублей - стоимость овцы
4.n(D)= n(С U D)-n(C)=275-100=175 рублей - стоимость свиньи
Ответ: корова стоит 900р., коза- 100р., овца-150р., свинья-17
Дополнительная задача:
9й слайд:
VII .Итоги игры
В заключении подводятся итоги.
Домашнее задание заранее написано на доске:
Составить задачи на 1)пересечение и объединение геометрических фигур, 2)распиливание; 3)задание множеств и подмножеств с помощью характеристического свойства.
И все-таки победила дружба.
Спасибо за урок, дети!
Множества и операции над ними
1. Основные понятия о множества.
- Основные определения.
Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).
МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.
Примеры:
- Множество студентов данной учебной группы.
- Множество планет солнечной системы.
- Множество букв русского алфавита.
- Множество натуральных чисел.
Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.
Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.
Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.
Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…
Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…
В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:
N – множество всех натуральных чисел;
Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;
Z (или C) – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
R + - множество всех действительных положительных чисел.
По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:
1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.
1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.
Пример 1.
Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.
Пример 2.
Множество натуральных чисел бесконечно.
Пример 3.
Множество точек отрезка бесконечно.
3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .
Пример 4.
Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.
Пример 5.
Множество людей, проживающих на Солнце.
В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.
Пример 6.
Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.
Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N
Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.
1.2 Способы задания множеств.
Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.
Пример 7.
Множество всех гласных букв русского алфавита:
A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.
Пример 8.
Множество цифр десятичной системы счисления:
B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.
Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.
Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.
Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:
А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х: Р(х)}.
Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.
Пример 9.
Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:
В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.
Пример 10.
Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:
R 1-3 ={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.
Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.
Пример 11.
Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.
Первый способ: N ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Второй способ: N ={z│z
Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.
Пример 12.
Множество квадратов.
Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.
Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.
1.3 Отношения между множествами.
Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.
рис. 1.
1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.
X Y B 1 B 2
Рис. 2. рис. 3.
- Пусть даны множества B 1 ={1; 2; 3} и B 2 ={4; 5; 6}.
Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.
С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.
- Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.
Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.
Определение 1.1
Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.
Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .
Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .
Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.
Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два
Множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ
ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.
4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.
Определение 1.2
Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.
Определение 1.3
Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.
Символически данное определение можно записать так:
С = D
⇔
С
⊂
D и D
⊂
С, или С = D
⇔
С
⊂
D
∧
D
⊂
С,
где знак
⇔
означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак
∧
(конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.
С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.
Рис.5. рис.6.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…
Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…
Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.
2. Операции над множествами
Рассмотрим некоторые операции над множествами.
2.1 Пересечение множеств
Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.
Определение 1.4
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:
Р=А ∩ В= {x ⎪ x ∈ A и x ∈ B}={x ⎪ x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1)
Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.
Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:
(2)
Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):
X ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)
Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.
Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.
Символически это может быть записано так:
(3)
где квадратная скобка заменяет союз “или”.
В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):
Х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)
Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.
Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).
рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10
2.2 Объединение множеств
Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.
Определение 1.5
Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:
А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:
С= А ∪ В={x ⎪ x ∈ A или x ∈ B}. (4)
Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой
(5)
а также знаком дизъюнкции
Х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)
Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.
Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:
(6)
или
X ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)
Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).
рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14
Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:
А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)
Замечание1.
Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:
Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n ={x ⎪ x ∈∀ A i , i= },
Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.
Замечание 2.
Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:
C= A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ={x ⎪ x ∈ A 1 или x ∈ A 2 или …или x ∈ A n }.
Замечание 3.
Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).
2.3 Разность множеств
Определение 1.6
Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Символически разность двух множеств обозначается так:
А В, где символ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:
C=A B={x ⎪ x ∈ A и x ∉ B} (8)
Или
(9)
а также x ∈ A B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)
Пример 1.
Если E 1 ={2; 4; 6} и E 2 ={6; 8; 10}, то E 3 =E 1 E 2 ={2; 4}, E 4 =E 2 E 1 ={8;10}.
Пример 2.
Если M 1 ={x 1 ; x 2 ; x 3 }, M 2 ={y 1 ; y 2 }, то M 3 =M 1 M 2 ={ x 1 ; x 2 ; x 3 },
M 4 =M 2 M 1 ={y 1 ; y 2 }.
Пример 3.
Если K 1 ={1; 3; 5; 7; 9}, K 2 ={5; 7; 1}, то K 3 =K 1 K 2 ={3; 9}, K 4 =K 2 K 1 = ∅ .
Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А В заштриховано.
рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18
2.4 Дополнение к множеству
Определение 1.7
Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .
Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .
Определение 1.8
Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .
Это определение может быть записано в виде:
= {x ⎪ x ∉ A}. (10)
Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.
Рис. 19 рис. 20