>

Видеоурок «Решение систем уравнений методом подстановки. Решение систем уравнений способом подстановки Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки




















Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Место урока в системе уроков: третий урок изучения темы “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными”

Тип урока: изучения новых знаний

Образовательная технология: развитие критического мышления через чтение и письмо

Метод обучения: исследование

Цели урока: освоить еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способом сложения

Задачи:

  • предметные : формирование практических навыков в решении систем линейных уравнений способом подстановки;
  • метапредметные : развивать мышление, сознательное восприятие учебного материала;
  • личностные : воспитание познавательной активности, культуры общения и привитие интереса к предмету.

В результате ученик:

  • Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;
  • Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;
  • Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;
  • Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;
  • Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько;
  • Знает алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки, алгебраического сложения, графическим способом.

Проблемный вопрос: “Как решить систему линейных уравнений с двумя переменными?”

Ключевые вопросы: Как и зачем мы используем уравнения в жизни?

Оборудование: презентация; мультимедийный проектор; экран; компьютер, рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. “Алгебра – 7” 2012 г.

Ресурсы (откуда берется информация по теме: книги, учебники, Интернет и т.д.): учебник “Алгебра – 7” 2012г., А.Г. Мордкович

Формы организации учебной деятельности учащихся (групповая, парно-групповая, фронтальная и т.д.): индивидуальная, частично фронтальная, частично парная

Критерии оценивания:

  • А – знание и понимание +
  • В – применение и рассуждение
  • С – сообщение +
  • D – рефлексия и оценка

Области взаимодействия:

  • ATL - Уметь эффективно использовать время, планировать свою деятельность в соответствии с поставленными целями и задачами, определять наиболее рациональную последовательность деятельности. Умение отвечать на вопросы, приводить доводы, аргументировать. Уметь анализировать и оценивать собственную учебно-познавательную деятельность, находить пути решения проблем.
  • HI учащиеся исследуют последствия деятельности человека

Ход урока

I. Организация урока

II. Проверка самоподготовки

a) № 12.2(б, в).

Ответ:(5; 3). Ответ:(2; 3).

Ответ: (4;2)

Выразите одну переменную через другую:

  • p = р /(g * h) – плотность жидкости
  • р = g * p * h - давление жидкости на дно сосуда
  • h = р /(g * p) – высота
  • p = m / V - плотность
  • m = V * p -масса
  • p = m / V – плотность

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:

  1. Выразить y через x из первого (или второго) уравнения системы.
  2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе (первое) уравнение системы.
  3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
  4. Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x, полученное на первом шаге.
  5. Записать ответ в виде пары значений (x; y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Самостоятельная работа:

В рабочей тетради стр. 46 – 47.

  • на “3” № 6(а);
  • на “4” № 6(б);
  • на “5” № 7.

III. Актуализация опорных знаний

Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?

Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны, корней нет.

Если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются, один корень (координаты точки пересечения).

Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают, корень бесконечно много.

IV. Изучение нового материала

Заполни пропуски: Приложение 1 (с последующей самопроверкой по слайдам)

V. Работа по теме урока

В классе: №№ 13.2(а, г),13.3(а, г).

VI. Домашнее задание

Параграф 13 - учебник; словарь; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).

VII. Итог урока

  • Ура!!! Мне всё понятно!
  • Есть моменты, над которыми мне надо поработать!
  • Были неудачи, но я все преодолею!

VIII. Решение задач на военную составляющую

Основной боевой танк Т-80.

Принят на вооружение в 1976 году. Первый в мире серийный танк с основной силовой установкой на базе газотурбинного двигателя.

Основные тактико-технические данные (ТТД):

Масса, т – 46

Скорость, км/ч – 70

Запас хода, км – 335-370

Вооружение: 125-мм гладкоствольное орудие (боекомплект 40 шт.);

12,7-мм пулемет (боекомплект 300 шт.);

7,62-мм пулемет ПКТ (боекомплект 2000 шт.)

Сколько времени может находиться в движении танк Т-80 без дозаправки?

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Давайте разберемся, как же решать системы уравнений способом подстановки?

1) Выразим из первого или второго уравнения системы неизвестное х или у (как нам удобнее);

2) Подставим в другое уравнение (в то, из которого не выражали неизвестное) вместо неизвестного х или у (если выражали х , подставляем вместо х ; если выражали у , подставляем вместо у ) полученное выражение;

3) Решаем уравнение, которое получили. Находим х или у;

4) Подставляем полученное значение неизвестного и находим второе неизвестное.

Правило записано . Теперь давайте попробуем применить его при решении системы уравнений.

Пример 1 .

Внимательно посмотрим на систему уравнений. Замечаем, что из первого уравнения легче выразить у .

Выражаем у :

–2у = 11 – 3х

у = (11 – 3х)/(–2)

у = –5,5 + 1,5х

Теперь аккуратно подставим во второе уравнение вместо у выражение –5,5 + 1,5х.

Получим: 4х – 5(–5,5 + 1,5х) = 3

Решаем это уравнение:

4х + 27,5 – 7,5х = 3

–3,5х = 3 – 27,5

–3,5х = –24,5

х = –24,5/(–3,5)

Подставляем в выражение у = – 5,5 + 1,5х вместо х значение, которое мы нашли. Получаем:

у = – 5,5+ 1,5 · 7 = –5,5 + 10,5 = 5.

Ответ: (7; 5)

Интересно, а если выразить из первого уравнения не у , а х , измениться ли ответ?

Давайте попробуем выразить х из первого уравнения.

х = (11 + 2у)/3

Подставим вместо х во второе уравнение выражение (11 +2у)/3, получим уравнение с одним неизвестным и решим его.

4(11 + 2у)/3 – 5у = 3, умножим обе части уравнения на 3, получим

4(11 + 2у) – 15у=9

44 + 8у – 15у = 9

–7у = 9 – 44

у = –35/(–7)

Находим переменную х, подставляя 5 в выражение х = (11 +2у)/3.

х = (11 +2·5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7

Ответ: (7; 5)

Как видите, ответ получился такой же . Если вы будете внимательны и аккуратны, то независимо от того, какую переменную вы выражаете – х или у , ответ получите правильный.

Довольно часто ученики спрашивают: «Есть ли еще другие способы решения систем, кроме сложения и подстановки? »

Есть некоторое видоизменение способа подстановки – способ сравнивания неизвестных .

1) Надо из каждого уравнения системы выразить одно и то же неизвестное через второе.

2) Полученные неизвестные сравнивают, получают уравнение с одним неизвестным.

3) Находят значение одного неизвестного.

4) Подставляют полученное значение неизвестного и находят второе неизвестное.

Пример 2 . Решить систему уравнений

Из двух уравнений выразим переменную х через у .

Получим из первого уравнения х = (13 – 6у) / 5, а из второго х = (–1 – 18у) / 7.

Сравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неизвестным и решаем его:

(13 – 6у) / 5 = (–1 – 18у) / 7

7 (13 – 6у) = 5 (–1 – 18у)

91 – 42у = –5 – 90у

–42у + 90у = –5 – 91

у = – 96 / 48

Неизвестное х найдем подставив значение у в одно из выражений для х .

(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5

Ответ: (5; –2).

Думаю, что и у вас все получиться. Если остались вопросы, приходите ко мне на уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:

Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:

5(7-3y)-2y = -16

Полученное значение y подставляем в выражение для x:

Ответ: (-2; 3).

В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:

Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:

Ответ: (1; -5).

Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):

Решаем первое уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Подставляем x=2 и находим y:

Ответ: (2; 1).

Прежде чем применить метод подстановки, эту систему следует упростить. Обе части первого уравнения можно умножить на наименьший общий знаменатель, во втором уравнении раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Теперь применим подстановку. Удобно из второго уравнения выразить a через b:

Решаем первое уравнение системы:

3(21,5 + 2,5b) — 7b = 63

Осталось найти значение a:

Согласно правилам оформления, ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

Ответ: (14; -3).

Выражая одну переменную через другую, иногда удобнее оставлять её с некоторым коэффициентом.


Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.