>

Построение обратных функций. Виды функции

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

    $y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$

    Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.

    Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

    Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

Нахождение обратной функции

    Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.

    Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.

    Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.

Пример 1

Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

    Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

    Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

    Находим подходящие значения $x$

    Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

    Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

    Находим подходящие значения $x$

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

    Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

    Находим подходящие значения $x$

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

    Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

    Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией . А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

    Обратная функция

    Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

    Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

    Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g - есть обратная функция к f.

    Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

    Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

    На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

    Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется теоремой об обратной функции .

    Функция - это зависимость одной переменной от другой. Функции можно задавать способом таблицы, словесным способом, графический, формулой.

    Функции подразделяются на следующие виды:

    • Линейная функция
    • Квадратичная функция
    • Кубическая функция
    • Тригонометрическая функция
    • Степенная функция
    • Показательная функция
    • Логарифмическая функция

    Область определения функции D(у) - это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции y = f(x) имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

    Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

    Множество значений фнкции Е(у) - это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

    Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

    Обратная функция - функция y=g(x), которая получается из данной функции y = f(x), если из отношения x = f(у) выразить y через x.

    Чтобы для данной функции y = f(x) найти обратную, надо:

    1. В соотношении y = f(x) заменить x на y, а y - на x: x = f(у) .
    2. В полученном выражении x=f(у) выразить y через x.

    Функции f(x) и g(x) - взаимно обратны. Рассмотрим это на примере

    Примеры нахождения обратных функций:

    Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f - областью определения g.

    Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции - ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

    Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества .

    Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х . 2) Область определения .

    Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g , и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g . 3) Монотонность .

    Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики .

    Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х .

    Преобразования графиков функций - это линейные преобразования функции y = f (x ) или её аргумента x к виду y = af (kx + b ) + m , а также преобразование с использованием модуля.

    Зная, как строить графики функции y = f(x) , где

    можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

    Вопросы к конспектам

    Y = 0,5x - 4

    Найдите область определения функции:

    Найдите область определения функции:

    Определить четность и нечетность функции:

    Решите дробно-рациональное уравнение:

    Найдите обратную функцию данной функции:

    Найдите значение выражения 6f(-1) +3f(5), если

    Соответственные выражения, которые обращаются друг в друга. Чтобы разобраться в том, что это означает, стоит рассмотреть конкретный пример. Допустим, имеем y = cos(x). Если взять от аргумента косинус, то можно найти значение y. Очевидно, для этого необходимо иметь икс. Но что если изначально дан игрек? Именно тут дело доходит до сути вопроса. Для решения задачи требуется использование обратной функции. В нашем случае это арккосинус.

    После всех преобразований получим: x = arccos(y).

    То есть, чтобы найти функцию, обратную данной, достаточно просто выразить из нее аргумент. Но это работает только при условии, если полученный результат будет иметь единственное значение (об этом дальше).

    В общем виде можно записать этот факт так: f(x) = y, g(y) = x.

    Определение

    Пусть f - функция, областью определения которой является множество X, а областью значений - множество Y. Тогда, если существует g, чьи области выполняют противоположные задачи, то f является обратимой.

    Кроме того, в таком случае g - единственна, что означает, что существует ровно одна функция, удовлетворяющая этому свойству (не более, не менее). Тогда ее называют обратной функцией, и на письме обозначают так: g(x) = f -1 (x).

    Другими словами, их можно рассматривать как двоичное отношение. Обратимость имеет место быть только тогда, когда одному элементу множества соответствует одно значение из другого.

    Не всегда существует обратная функция. Для этого каждый элемент y є Y должен соответствовать не более чем одному x є X. Тогда f называется взаимно-однозначной или инъекцией. Если f -1 принадлежит Y, то каждый элемент этого множества должен соответствовать некоторому x ∈ X. Функции с таким свойством называются сюръекциями. Оно выполняется по определению, если Y - изображение f, но это не всегда так. Чтобы быть обратной, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие выражения называются биекциями.

    Пример: квадратные и корневые функции

    Функция определена на $

    Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

    Вычислим $x$:

    \ \

    Выбираем подходящие $x$:

    Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

    Задачи на нахождение обратных функций

    В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

    Пример 2

    Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

      Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

    Пример 3

    Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

    Решение.

    Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

      Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

      Находим подходящие значения $x$

      Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

      Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

    Пример 4

    Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

    Решение.

    Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

      Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

      Находим подходящие значения $x$

      Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

    Пример 5

    Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

    Решение.

    Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

      Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

      Находим подходящие значения $x$

      Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид