План-конспект урока по геометрии в 10 классе на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Цели урока:
обучающие
введение признака перпендикулярности прямой и плоскости;
формировать представления учащихся о перпендикулярности прямой и плоскости, их свойствах;
формировать умения учащихся решать типичные задачи по теме, умения доказывать утверждения;
развивающие
развивать самостоятельность, познавательную активность;
развивать умение анализировать, делать выводы, систематизировать полученную информацию,
развивать логическое мышление;
развивать пространственное воображение.
воспитательные
воспитание культуры речи учащихся, усидчивости;
прививать учащимся интерес к предмету.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления знаний.
Формы работы учащихся: фронтальный опрос.
Оборудование: компьютер, проектор, экран.
Литература: «Геометрия 10-11», Учебник. Атанасян Л.С. и др.
(2009, 255с.)
План урока:
Организационный момент (1 минуты);
Актуализация знаний (5 минут);
Изучение нового материала (15 минут);
Первичное закрепление изученного материала (20 минуты);
Подведение итогов (2 минуты);
Домашнее задание (2 минуты).
Ход урока.
Организационный момент (1 минуты)
Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.
Актуализация знаний (5 минут)
Учитель. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
Ученик. Прямая перпендикулярная любой прямой лежащей в этой плоскости называется прямой перпендикулярной этой плоскости.
Учитель. Как звучит лемма о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей?
Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Учитель. Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости.
Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель. Как звучит теорема обратная данной?
Ученик. Если две прямые перпендикулярный одной и той же плоскости, то они параллельны.
Проверка домашнего задания
Домашнее задание проверяется, если у учеников возникли трудности при его решении.
Изучение нового материала (15 минут)
Учитель. Мы с вами знаем, что если прямая перпендикулярная к плоскости, то она будет перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, но в определении перпендикулярность прямой к плоскости дается как факт. На практике же часто приходится определить будет ли являться прямая перпендикулярной к плоскости или нет. Такие примеры можно привести из жизни: при строительстве зданий сваи вбивают перпендикулярно поверхности земли, иначе конструкция может рухнуть. Определением прямой перпендикулярной плоскости в этом случае воспользоваться невозможно. Почему? Сколько прямых можно провести в плоскости?
Ученик. В плоскости можно провести бесконечно много прямых
Учитель. Правильно. И проверить перпендикулярность прямой к каждой отдельной плоскости невозможно, так как это займет бесконечно много времени. Для того чтобы понять является ли прямая перпендикулярной к плоскости введем признак перпендикулярности прямой и плоскости. Запишите в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Запись в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель. Таким образом нам нет необходимости проверять перпендикулярность прямой для каждой прямой плоскости, достаточно проверить перпендикулярность лишь для двух прямых этой плоскости.
Учитель. Давайте докажем это признак.
Дано: p и q – прямые, p ∩ q = O , a ⊥ p , a ⊥ q , p ϵ α, q ϵ α.
Доказать: a ⊥ α.
Учитель. И все таки для доказательства воспользуемся определением прямой перпендикулярной плоскости, как оно звучит?
Ученик. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Учитель. Правильно. Начертим в плоскости α любую прямую m . Проведем через точку О прямую l ║ m . На прямой a отметим точки А и В так чтобы точка О была серединой отрезка АВ. Проведем прямую z таким образом, чтобы она пересекала прямые p , q , l , точки пересечения этих прямых обозначим P , Q , L соответственно. Соединим концы отрезка АВ с точками P ,Q и L .
Учитель. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APQ и ∆BPQ ?
Ученик. Эти треугольники будут равны (по 3 признаку равенства треугольников).
Учитель. Почему?
Ученик. Т.к. прямые p и q – серединные перпендикуляры, то AP = BP , AQ = BQ , а сторона PQ – общая.
Учитель. Правильно. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APL и ∆BPL ?
Ученик. Эти треугольники тоже будут равны (по 1 признаку равенства треугольников).
Учитель. Почему?
Ученик. AP = BP , PL – общая сторона, APL = BPL (из равенства ∆ APQ и ∆ BPQ )
Учитель. Правильно. А значит AL = BL . Значит каким будет ∆ALB ?
Ученик. Значит ∆ALB будет равнобедренным.
Учитель. LO – медиана в ∆ALB , значит чем она будет являться в этом треугольнике?
Ученик. Значит LO будет являться еще и высотой.
Учитель. Следовательно прямая l будет перпендикулярна прямой a . А так как прямая l – любая прямая принадлежащая плоскости α, то по определению прямая a ⊥ α. Что и требовалось доказать.
Доказывается при помощи призентации
Учитель. А что делать если прямая a не пересекает точку О, но остается перпендикулярной к прямым p и q ? Если прямая а пересекает любую другую точку данной плоскости?
Ученик. Можно построить прямую а 1 , которая будет параллельна прямой а, будет пересекать точку О, а по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей можно доказать, что a 1 ⊥ p , a 1 ⊥ q .
Учитель. Правильно.
Первичное закрепление изученного материала (20 минут)
Учитель. Для того чтобы закрепить изученный нами материал решим номер 126. Прочтите задание.
Ученик. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD , где D – произвольная точка прямой АС.
Рисунок.
Дано: ∆ ABC , MB ⊥ BA , MB ⊥ BC , D ϵ AC .
Найти: ∆MBD.
Решение.
Учитель. Можно через вершины треугольника провести плоскость?
Ученик. Да, можно. Плоскость можно провести по трем точкам.
Учитель. Как будут расположены прямые ВА и СВ относительно этой плоскости?
Ученик. Эти прямые будут лежать в этой плоскости.
Учитель. Получается, что мы имеем плоскость, и в ней две пересекающиеся прямые. Как относится прямая МВ к этим прямым?
Ученик. Прямая МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС
Учитель. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то прямая будет относится к этой плоскости?
Ученик. Прямая МВ будет перпендикулярна плоскости АВС.
⊥ АВС.
Учитель. Точка D – произвольная точка на отрезке АС, значит как будет относится прямая BD к плоскости АВС?
Ученик. Значит BD принадлежит плоскости АВС.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. BD ϵ ABC
Учитель. Какими относительно друг друга будут являться прямые МВ и BD ?
Ученик. Эти прямые будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ МВ ⊥ BD
Учитель. Если МВ перпендикулярно BD , то каким будет треугольник MBD ?
Ученик. Треугольник MBD будет прямоугольным.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ ∆MBD – прямоугольный.
Учитель. Правильно. Решим номер 127. Прочтите задание.
Ученик. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC . Докажите, что CD ⊥ AC.
Ученик выходит к доске. Рисует чертеж.
Запись на доске и в тетради.
Дано: ∆ ABC , A + B = 90°, BD ⊥ ABC .
Докажите: CD ⊥ AC .
Доказательство:
Учитель. Чему равна сумма углов треугольника?
Ученик. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
Учитель. Чему будет равен угол C в треугольнике ABC ?
Ученик. Угол C в треугольнике ABC будет равен 90°.
Запись на доске и в тетрадях. C = 180° - A - B = 90°
Учитель. Если угол С равен 90°, то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и ВС?
Ученик. Значит АС ⊥ ВС.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ АС ⊥ ВС
Учитель. Прямая BD перпендикулярна плоскости ABC . Что из этого следует?
Ученик. Значит BD перпендикулярно любой прямой из ABC .
BD ⊥ ABC ↔ BD перпендикулярно любой прямой из ABC (по определению)
Учитель. В соответствии с этим, как будут относится прямые BD и AC ?
Ученик. Значит эти прямые будут перпендикулярны.
BD ⊥ AC
Учитель. АС перпендикулярно двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости DBC , но АС не проходит через точку пересечения. Как это исправить?
Ученик. Через точку В проведем прямую а параллельную АС. Так как АС перпендикулярно BC и BD , то и а будет перпендикулярно BC и BD по лемме.
Запись на доске и в тетрадях. Через точку В проведем прямую а ║АС ↔ а ⊥ BC , а ⊥ BD
Учитель. Если прямая а будет перпендикулярно BC и BD , то что можно сказать о взаимном расположении прямой а и плоскости BDC ?
Ученик. Значит прямая а будет перпендикулярна плоскости BDC , а значит и прямая АС будет перпендикулярна BDC .
Запись на доске и в тетрадях. ↔ а ⊥ BDC ↔ АС ⊥ BDC .
Учитель. Если АС перпендикулярна BDC , то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и DC ?
Ученик. АС и DC будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. АС ⊥ BDC ↔ АС ⊥ DC
Учитель. Молодец. Решим номер 129. Прочитайте задание.
Ученик. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перепендикулярна к плоскости AMO ; б) MO ⊥ BD .
К доске выходит ученик. Рисует чертеж.
Запись на доске и в тетради.
Дано: ABCD – квадрат, AM ⊥ ABCD , AC ∩ BD = O
Доказать: BD ⊥ AMO, MO ⊥ BD
Доказательство:
Учитель. Нам нужно доказать чтопрямая BD ⊥ AMO . Какие условия для этого должны выполняться?
Ученик. Нужно чтобы прямая BD была перпендикулярна хотябы двум пересекающимся прямым из плоскости AMO .
Учитель. В условии сказано что BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым из AMO ?
Ученик. Нет.
Учитель. Но мы знаем, что AM перпендикулярна ABCD . Какой вывод можно из этого сделать?
Ученик. Значит, что AM перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, тоесть AM перпендикулярна BD .
AM ⊥ ABCD ↔ AM ⊥ BD (по определению).
Учитель. Одна прямая перпендикулярна BD есть. Обратите внимание на квадрат, как будут распологаться относительно друг друга прямые AC и BD ?
Ученик. AC будет перпендикулярна BD по свойству диагоналей квадрата.
Запись на доске и в тетради. Т.к. ABCD – квадрат, то AC ⊥ BD (по свойству диагоналей квадрата)
Учитель. Мы нашли две пересекающиеся прямые лежащие в плоскости AMO перпендикулярные прямой BD . Что из этого следует?
Ученик. Значит, что BD перпендикулярна плоскости AMO .
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. AC ⊥ BD и AM ⊥ BD ↔ BD ⊥ AMO (по признаку)
Учитель. Какая прямая называется прямой перпендикулярной к плоскости?
Ученик. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
Учитель. А значит как взаимо расположены прямые BD и OM ?
Ученик. Значит BD перпендикулярно OM . Что и требовалось доказать.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ BD ⊥ MO (по определению). Что и требовалось доказать.
Подведение итогов (2 минуты)
Учитель. Сегодня мы изучили признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как он звучит?
Ученик. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.
Учитель. Правильно. Мы научились применять этот признак при решении задач. Кто отвечал у доски и помогал с места молодцы.
Домашнее задание (2 минуты)
Учитель. Параграф 1, пункты 15 -17, учить: лемму, определение и все теоремы. №130, 131.
Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
1. Две прямые
3. Две плоскости
Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.
Перпендикулярность двух прямых.
Определение:
Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.
Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.
Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.
Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение:
Вот картинка:
прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!
Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .
Формулируем:
Оцени, как здорово:
если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.
И опять рассмотрим пример .
Пусть нам дан правильный тетраэдр.
Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!
А вот смотри:
давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.
Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Когда плоскости перпендикулярны
Определение:
То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.
Теорема эта называется
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Давай сформулируем:
Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:
- Если, то проходит через перпендикуляр к.
- Если проходит через перпендикуляр к, то.
(естественно, здесь и - плоскости).
Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
Так что нужно быть очень внимательным!
Итак, формулировка:
И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):
давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.
Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.
Решение:
Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.
Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
И пишем ответ: .
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Перпендикулярность двух прямых.
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Перпендикулярность плоскостей.
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Видеоурок 2:
Теорема о трех перпендикулярах. Теория
Видеоурок 3:
Теорема о трех перпендикулярах. Задача
Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах
Перпендикулярность прямой и плоскостиДавайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.
Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.
Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.
Свойства:
- Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.
- Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
- Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.
Наклонная
Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .
Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.
На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.
Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.
АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.
Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .
В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.
Теорема о трёх перпендикулярах
Определение. Прямая пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с , принадлежащим плоскости a . А – точка пересечения прямых. В плоскости a через точку А проведем прямую d , не совпадающую с прямыми b и с . Теперь в плоскости a проведем прямую k , пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А. Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА 1 и АА 2 . Треугольник А 1 СА 2 равнобедренный, т.к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т.е. А 1 С=СА 2 . Подобно в треугольнике А 1 ВА 2 равны стороны А 1 В и ВА 2 . Следолвательно, треугольники А 1 ВС и А 2 ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А 1 ВD и А 2 ВD. Значит, равны и треугольники А 1 ВD и А 2 ВD по первому признаку . Поэтому А 1 D и А 2 D. Отсюда треугольник А 1 DА 2 равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике А 1 D А 2 D А – медиана (по построению), а значит и высота, то есть угол А 1 АD прямой, а значит прямая а перпендикулярна прямой d . Таким образом можно доказать, что прямая а перпендикулярна любой прямой проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a . Из определения следует, что прямая а перпендикулярна плоскости a .
Построение прямой
перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.
Пусть a
-
плоскость, А – точка, из которой надо опустить перпендикуляр. В плоскости
проведем некоторую прямую а
. Через
точку А
и прямую а
проведем плоскость b
(прямая и точка определяют плоскость, причем только
одну). В плоскости b
из точки А
опустим на прямую а
перпендикуляр АВ. Из точки В в
плоскости a
восстановим перпендикуляр и обозначим прямую, на которой лежит этот
перпендикуляр за с
. Через отрезок АВ
и прямую с
проведем плоскость g
(две
пересекающиеся прямые определяют плоскость, причем только одну). В плоскости g
из
точки А
опустим на прямую с
перпендикуляр АС.
Докажем, что отрезок АС –
перпендикуляр к плоскости b
.
Доказательство.
Прямая
а
перпендикулярна прямым с
и АВ (по
построению), а значит она перпендикулярна и самой плоскости g
, в
которой лежат эти две пересекающиеся прямые (по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости). А раз она перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, значит прямая а
перпендикулярна АС. Прямая
АС перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости α
: с
(по построению) и а
(по доказанному), значит она перпендикулярна плоскости α
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)
Теорема 1
. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а
и b
- перпендикулярные прямые, а
1 и b
1 - параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а
1 и b
1 перпендикулярны.
Если прямые а
, b
, а
1 и b
1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а
и b
лежат в некоторой плоскости α
, а прямые а
1 и b
1 - в некоторой плоскости β
. По признаку параллельности плоскостей плоскости α
и β
параллельны. Пусть С - точка пересечения прямых а
и b
, а С 1 - пересечения прямых а
1 и b
1 . Проведем в плоскости параллельных прямых а
и а
а
и а
1 в точках А и А 1 . В плоскости параллельных прямых b
и b
1 прямую, параллельную прямой СС 1 . Она пересечет прямые b
и b
1 в точках B и B 1 .
Четырехугольники САА 1 С 1 и СВВ 1 С 1 - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС 1 .Таким образом четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 . А она пересекает параллельные плоскости α
и β
по параллельным прямые АВ и А 1 В 1 .
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 . По третьему признаку равенства треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Итак, угол А 1 С 1 В 1 , равный углу АСВ, прямой, т.е. прямые а
1 и b
1 перпендикулярны. Ч.т.д.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2
. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а
1 и а
2 - две параллельные прямые и α
- плоскость, перпендикулярна прямой а
1 . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а
2 .
Проведем через точку А 2 пересечения прямой а
2 с плоскостью α
произвольную прямую с
2 в плоскости α
.
Проведем в плоскости α
через точку А 1 пересечения прямой а
1 с плоскостью α
прямую с
1 , параллельную прямой с
2 . Так как прямая а
1 перпендикулярна плоскости α
, то прямые а
1 и с
1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а
2 и с
2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а
2 перпендикулярна любой прямой с
2 в плоскости α
. А это значит, что прямая а
2 перпендикулярна плоскости α
. Теорема доказана.
Теорема 3
. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость α
и две перпендикулярные ей прямые а
и b
. Докажем, что а
|| b
.
Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с
. По признаку получаем а
^
c
и b
^
c
. Через прямые а
и b
проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а
и b
и секущую с
. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а
|| b
.
Усеченный конус и его свойства. Площадь полной и боковой усеченного конуса.
Билет № 21.
Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности пирамиды. Объем пирамиды.
Билет № 22.
Теоремы о линии пересечения плоскостей: одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости; каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых.
Признак выпуклого многогранника. Понятие о развертке многогранника.
Теорема - признак выпуклого многогранника (обратная теорема). Если многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани, то он выпуклый.
Доказательство (от противного):
1) Пусть многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что многогранник не выпуклый. Тогда найдутся такие две точки А и В, что на отрезке АВ есть точка Х, не принадлежащая М. α - плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника. Допустим, что многогранник не лежит по одну сторону от плоскости α. Тогда существуют две такие точки А и В, которые лежат по разные стороны от плоскости α. Соединим точки А и В со всеми точками грани Q, лежащей в плоскости α. Получен многогранник M 1 , состоящий из двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где Х - любая точка грани Q.
2) Поскольку исходный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, то есть все точки многогранника M 1 являются внутренними точками многогранника М. Иначе многогранник M 1 целиком содержится внутри многогранника М. Это означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника M 1 и многогранника М. Это невозможно, так как многоугольник Q - грань выпуклого многогранника М, а каждая точка этой грани является граничной точкой многогранника. Противоречие. Допущение неверно. Следовательно, точки А и В не лежат по разные стороны от выбранной грани. Многогранник выпуклый по определению.
Поверхностью многогранника является фигура, составленная из конечного числа многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, и каждая сторона любого из этих многоугольников является общей только для двух из них. Такую фигуру называют замкнутой многогранной поверхностью .
Если модель многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости, то получится многоугольник, который называется разверткой данного многогранника .
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки , стороны этих многоугольников - ребрами развертки , вершины многоугольников - вершинами развертки , причем склеиваемые стороны многоугольников считаются за одно ребро, а склеиваемые вершины - за одну вершину.
Для того чтобы из данной развертки можно было склеить выпуклый многогранник, необходимо выполнение следующих условий:
1) Условие замкнутости : каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо одной стороной одного и только одного другого многоугольника (называемого смежным с данным).
2) Условие Эйлера : если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то выполняется теорема Декарта-Эйлера.
3) Условие выпуклости : сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.
Билет № 23.
Теорема о прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей.
Параллелепипед: его свойства и виды. Объем параллелепипеда.
Билет № 24.
Теоремы о прямых, перпендикулярных плоскости.