Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d .
Так, числовая последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; а 5 ; … а n будет являться арифметической прогрессией, если а 2 = а 1 + d;
а 3 = а 2 + d;
Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом а n . Записывают: дана арифметическая прогрессия {a n } .
Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a 1 и разность d.
Примеры арифметической прогрессии
Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;… Здесь а 1 = 1; d = 2.
Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;… Здесь а 1 = 8; d =-3.
Пример 3. -16; -12; -8; -4;… Здесь а 1 = -16; d = 4.
Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.
В 1 примере второй член 3 =(1+5): 2 ; т.е. а 2 = (а 1 +а 3): 2; третий член 5 =(3+7): 2;
т. е. а 3 = (а 2 +а 4): 2.
Значит, справедлива формула:
Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.
Обратимся примеру 2 . Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и седьмого членов (а 1 = 8, а 7 = -10).
По формуле (**) имеем:
Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.
Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d ; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d ; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.
Вы уже догадались: а 2 = а 1 + d;
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;
…………………….
a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.
Полученную формулу a n = a 1 + (n -1) d (***)
называют формулой n -го члена арифметической прогрессии.
Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через S n .
От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n и
S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1
Сложим почленно эти два равенства:
2S n = (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …
Способы нахождения обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу
Обозначим Δ = det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной , если Δ = 0.
Квадратная матрица В есть для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Обратная матрица матрице А, обозначается через А - 1 , так что В = А - 1 и вычисляется по формуле
, (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A..
Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.
Пример 1
. Для матрицы 
найти A -1 .
Решение.
Находим сначала детерминант матрицы А 
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: 
, где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной матрицы. 
Откуда 
.
Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для матрицы: А= .
Решение.
Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: 
. С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: 
~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: 
. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; 
. Прибавим третий столбец к первому и второму: 
. Умножим последний столбец на -1: 
. Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной матрицей к данной матрице А. Итак,
.
Для решения системы линейных уравнений (3) относительно x 1 воспользуемся методом Гаусса .
Аналогичным образом решаются остальные системы линейных уравнений (2).
Наконец группа векторов столбцов x 1 , x 2 , ..., x n образует обратную матрицу A -1 .
Заметим, что один раз находя матрицы перестановок P 1 ,P 2 , ... , P n-1 и матрицы исключений М 1 , М 2 , ..., M n-1 (см. страницу Метод исключения Гаусса) и построив матрицу
M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,
систему (2) можно преобразовать к виду
- MAx 1 =Me 1 ,
- MAx 2 =Me 2 ,
- ......
- MAx n =Me n .
Отсюда находятся x 1 ,x 2 , ..., x n , при разных правых частях Me 1 , Me 2 , ..., Me n .
При вычислении обратной матрицы более удобно с правой стороны исходной матрицы добавить единичную матрицу и применять метод Гаусса в прямом и обратном направлениях.
Рассмотрим это на примере.
Пример вычисления обратной матрицы
Пусть требуется найти обратную матрицу A -1 для данной матрицы A :
Запишем с правой стороны единичную матрицу:
Выбираем ведущий элемент "4" (т.к. он самый большой по модулю) и переставляем местами первую и третью строки:
Применяем Гауссово исключение для первого столбца:
Переставляем вторую и третью строки и применяем Гауссово исключение для второго столбца.
Да, да: арифметическая прогрессия — это вам не игрушки:)
Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.
Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt{2};\ 2\sqrt{2};\ 3\sqrt{2};...$
Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число .
Судите сами. Первый набор — это просто идущие подряд числа, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Во втором случае разница между рядом стоящими числами уже равна пяти, но эта разница всё равно постоянна. В третьем случае вообще корни. Однако $2\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}$, а $3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}$, т.е. и в этом случае каждый следующий элемент просто возрастает на $\sqrt{2}$ (и пусть вас не пугает, что это число — иррациональное).
Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:
Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Сама величина, на которую отличаются числа, называется разностью прогрессии и чаще всего обозначается буквой $d$.
Обозначение: $\left({{a}_{n}} \right)$ — сама прогрессия, $d$ — её разность.
И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.
Во-вторых, сама последовательность может являться как конечной, так и бесконечной. К примеру, набор {1; 2; 3} — это, очевидно, конечная арифметическая прогрессия. Но если записать что-нибудь в духе {1; 2; 3; 4; ...} — это уже бесконечная прогрессия. Многоточие после четвёрки как бы намекает, что дальше идёт ещё довольно много чисел. Бесконечно много, например.:)
Ещё хотел бы отметить, что прогрессии бывают возрастающими и убывающими. Возрастающие мы уже видели — тот же набор {1; 2; 3; 4; ...}. А вот примеры убывающих прогрессий:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt{5};\ \sqrt{5}-1;\ \sqrt{5}-2;\ \sqrt{5}-3;...$
Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:
Определение. Арифметическая прогрессия называется:
- возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего;
- убывающей, если, напротив, каждый последующий элемент меньше предыдущего.
Кроме того, существуют так называемые «стационарные» последовательности — они состоят из одного и того же повторяющегося числа. Например, {3; 3; 3; ...}.
Остаётся лишь один вопрос: как отличить возрастающую прогрессию от убывающей? К счастью, тут всё зависит лишь от того, каков знак числа $d$, т.е. разности прогрессии:
- Если $d \gt 0$, то прогрессия возрастает;
- Если $d \lt 0$, то прогрессия, очевидно, убывает;
- Наконец, есть случай $d=0$ — в этом случае вся прогрессия сводится к стационарной последовательности одинаковых чисел: {1; 1; 1; 1; ...} и т.д.
Попробуем рассчитать разность $d$ для трёх убывающих прогрессий, приведённых выше. Для этого достаточно взять любые два соседних элемента (например, первый и второй) и вычесть из числа, стоящего справа, число, стоящее слева. Выглядеть это будет вот так:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt{5}-1-\sqrt{5}=-1$.
Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.
Члены прогрессии и рекуррентная формула
Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:
\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ {{a}_{1}},\ {{a}_{2}},{{a}_{3}},... \right\}\]
Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.
Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:
\[{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=d\Rightarrow {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d\]
Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется рекуррентной, поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:
\[{{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d\]
Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.
Тем не менее предлагаю немного потренироваться.
Задача №1. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$, если ${{a}_{1}}=8,d=-5$.
Решение. Итак, нам известен первый член ${{a}_{1}}=8$ и разность прогрессии $d=-5$. Воспользуемся только что приведённой формулой и подставим $n=1$, $n=2$ и $n=3$:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d; \\ & {{a}_{1}}={{a}_{1}}+\left(1-1 \right)d={{a}_{1}}=8; \\ & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+\left(2-1 \right)d={{a}_{1}}+d=8-5=3; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+\left(3-1 \right)d={{a}_{1}}+2d=8-10=-2. \\ \end{align}\]
Ответ: {8; 3; −2}
Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.
Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.
Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.
Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:
\[{{a}_{7}}=-40;\quad {{a}_{17}}=-50.\]
\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{7}}={{a}_{1}}+6d \\ & {{a}_{17}}={{a}_{1}}+16d \\ \end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}+6d=-40 \\ & {{a}_{1}}+16d=-50 \\ \end{align} \right.\]
Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}+16d-\left({{a}_{1}}+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & {{a}_{1}}+16d-{{a}_{1}}-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\ & d=-1. \\ \end{align}\]
Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:
\[\begin{matrix} {{a}_{1}}+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ {{a}_{1}}-6=-40; \\ {{a}_{1}}=-40+6=-34. \\ \end{matrix}\]
Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:
\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=-34-1=-35; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+2d=-34-2=-36. \\ \end{align}\]
Готово! Задача решена.
Ответ: {−34; −35; −36}
Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:
\[{{a}_{n}}-{{a}_{m}}=d\cdot \left(n-m \right)\]
Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:
Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.
Решение. Поскольку ${{a}_{5}}=8,4$, ${{a}_{10}}=14,4$, а нужно найти ${{a}_{15}}$, то заметим следующее:
\[\begin{align} & {{a}_{15}}-{{a}_{10}}=5d; \\ & {{a}_{10}}-{{a}_{5}}=5d. \\ \end{align}\]
Но по условию ${{a}_{10}}-{{a}_{5}}=14,4-8,4=6$, поэтому $5d=6$, откуда имеем:
\[\begin{align} & {{a}_{15}}-14,4=6; \\ & {{a}_{15}}=6+14,4=20,4. \\ \end{align}\]
Ответ: 20,4
Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.
Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.
При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.
Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?
Решение. Итак, ${{a}_{1}}=-38,5$, ${{a}_{2}}=-35,8$, откуда сразу находим разность:
Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.
Попробуем выяснить: до каких пор (т.е. до какого натурального числа $n$) сохраняется отрицательность членов:
\[\begin{align} & {{a}_{n}} \lt 0\Rightarrow {{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac{7}{27}\Rightarrow {{n}_{\max }}=15. \\ \end{align}\]
Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n \lt 15\frac{7}{27}$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $n\in \mathbb{N}$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.
Задача №5. В арифметической прогрессии ${{}_{5}}=-150,{{}_{6}}=-147$. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии.
Это была бы точь-в-точь такая же задача, как и предыдущая, однако нам неизвестно ${{a}_{1}}$. Зато известны соседние члены: ${{a}_{5}}$ и ${{a}_{6}}$, поэтому мы легко найдём разность прогрессии:
Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & {{a}_{5}}={{a}_{1}}+4d; \\ & -150={{a}_{1}}+4\cdot 3; \\ & {{a}_{1}}=-150-12=-162. \\ \end{align}\]
Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow {{n}_{\min }}=56. \\ \end{align}\]
Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.
Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит.
Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)
Среднее арифметическое и равные отступы
Рассмотрим несколько последовательных членов возрастающей арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$. Попробуем отметить их на числовой прямой:
Члены арифметической прогрессии на числовой прямойЯ специально отметил произвольные члены ${{a}_{n-3}},...,{{a}_{n+3}}$, а не какие-нибудь ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}}$ и т.д. Потому что правило, о котором я сейчас расскажу, одинаково работает для любых «отрезков».
А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:
\[\begin{align} & {{a}_{n-2}}={{a}_{n-3}}+d; \\ & {{a}_{n-1}}={{a}_{n-2}}+d; \\ & {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+d; \\ \end{align}\]
Однако эти равенства можно переписать иначе:
\[\begin{align} & {{a}_{n-1}}={{a}_{n}}-d; \\ & {{a}_{n-2}}={{a}_{n}}-2d; \\ & {{a}_{n-3}}={{a}_{n}}-3d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{n+3}}={{a}_{n}}+3d; \\ \end{align}\]
Ну и что с того? А то, что члены ${{a}_{n-1}}$ и ${{a}_{n+1}}$ лежат на одном и том же расстоянии от ${{a}_{n}}$. И это расстояние равно $d$. То же самое можно сказать про члены ${{a}_{n-2}}$ и ${{a}_{n+2}}$ — они тоже удалены от ${{a}_{n}}$ на одинаковое расстояние, равное $2d$. Продолжать можно до бесконечности, но смысл хорошо иллюстрирует картинка
Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра
Что это значит для нас? Это значит, что можно найти ${{a}_{n}}$, если известны числа-соседи:
\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}}}{2}\]
Мы вывели великолепное утверждение: всякий член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов! Более того: мы можем отступить от нашего ${{a}_{n}}$ влево и вправо не на один шаг, а на $k$ шагов — и всё равно формула будет верна:
\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-k}}+{{a}_{n+k}}}{2}\]
Т.е. мы спокойно можем найти какое-нибудь ${{a}_{150}}$, если знаем ${{a}_{100}}$ и ${{a}_{200}}$, потому что ${{a}_{150}}=\frac{{{a}_{100}}+{{a}_{200}}}{2}$. На первый взгляд может показаться, что данный факт не даёт нам ничего полезного. Однако на практике многие задачи специально «заточены» под использование среднего арифметического. Взгляните:
Задача №6. Найдите все значения $x$, при которых числа $-6{{x}^{2}}$, $x+1$ и $14+4{{x}^{2}}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).
Решение. Поскольку указанные числа являются членами прогрессии, для них выполняется условие среднего арифметического: центральный элемент $x+1$ можно выразить через соседние элементы:
\[\begin{align} & x+1=\frac{-6{{x}^{2}}+14+4{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=\frac{14-2{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=7-{{x}^{2}}; \\ & {{x}^{2}}+x-6=0. \\ \end{align}\]
Получилось классическое квадратное уравнение. Его корни: $x=2$ и $x=-3$ — это и есть ответы.
Ответ: −3; 2.
Задача №7. Найдите значения $$, при которых числа $-1;4-3;{{}^{2}}+1$ составляют арифметическую прогрессию (в указанном порядке).
Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:
\[\begin{align} & 4x-3=\frac{x-1+{{x}^{2}}+1}{2}; \\ & 4x-3=\frac{{{x}^{2}}+x}{2};\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6={{x}^{2}}+x; \\ & {{x}^{2}}-7x+6=0. \\ \end{align}\]
Снова квадратное уравнение. И снова два корня: $x=6$ и$x=1$.
Ответ: 1; 6.
Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?
Допустим, в задаче №6 мы получили ответы −3 и 2. Как проверить, что эти ответы верны? Давайте просто подставим их в исходное условие и посмотрим, что получится. Напомню, что у нас есть три числа ($-6{{}^{2}}$, $+1$ и $14+4{{}^{2}}$), которые должны составлять арифметическую прогрессию. Подставим $x=-3$:
\[\begin{align} & x=-3\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4{{x}^{2}}=50. \end{align}\]
Получили числа −54; −2; 50, которые отличаются на 52 — несомненно, это арифметическая прогрессия. То же самое происходит и при $x=2$:
\[\begin{align} & x=2\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4{{x}^{2}}=30. \end{align}\]
Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.
В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:
Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.
В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.
Группировка и сумма элементов
Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:
На числовой прямой отмечены 6 элементовПопробуем выразить «левый хвост» через ${{a}_{n}}$ и $d$, а «правый хвост» через ${{a}_{k}}$ и $d$. Это очень просто:
\[\begin{align} & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{k-1}}={{a}_{k}}-d; \\ & {{a}_{k-2}}={{a}_{k}}-2d. \\ \end{align}\]
А теперь заметим, что равны следующие суммы:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}+{{a}_{k}}=S; \\ & {{a}_{n+1}}+{{a}_{k-1}}={{a}_{n}}+d+{{a}_{k}}-d=S; \\ & {{a}_{n+2}}+{{a}_{k-2}}={{a}_{n}}+2d+{{a}_{k}}-2d=S. \end{align}\]
Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:
Одинаковые отступы дают равные суммы
Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:
Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.
Решение. Запишем всё, что нам известно:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}=66; \\ & d=? \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\min . \end{align}\]
Итак, нам неизвестна разность прогрессии $d$. Собственно, вокруг разности и будет строиться всё решение, поскольку произведение ${{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}$ можно переписать следующим образом:
\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=66+d; \\ & {{a}_{12}}={{a}_{1}}+11d=66+11d; \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end{align}\]
Для тех, кто в танке: я вынес общий множитель 11 из второй скобки. Таким образом, искомое произведение представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $d$. Поэтому рассмотрим функцию $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ — её графиком будет парабола ветвями вверх, т.к. если раскрыть скобки, то мы получим:
\[\begin{align} & f\left(d \right)=11\left({{d}^{2}}+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11{{d}^{2}}+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end{align}\]
Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:
график квадратичной функции — парабола
Обратите внимание: минимальное значение эта парабола принимает в своей вершине с абсциссой ${{d}_{0}}$. Конечно, мы можем посчитать эту абсциссу по стандартной схеме (есть же формула ${{d}_{0}}={-b}/{2a}\;$), но куда разумнее будет заметить, что искомая вершина лежит на оси симметрии параболы, поэтому точка ${{d}_{0}}$ равноудалена от корней уравнения $f\left(d \right)=0$:
\[\begin{align} & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & {{d}_{1}}=-66;\quad {{d}_{2}}=-6. \\ \end{align}\]
Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:
\[{{d}_{0}}=\frac{-66-6}{2}=-36\]
Что даёт нам обнаруженное число? При нём требуемое произведение принимает наименьшее значение (мы, кстати, так и не посчитали ${{y}_{\min }}$ — от нас это не требуется). Одновременно это число является разностью исходной прогрессии, т.е. мы нашли ответ.:)
Ответ: −36
Задача №9. Между числами $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$ вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.
Решение. По сути, нам нужно составить последовательность из пяти чисел, причём первое и последнее число уже известно. Обозначим недостающие числа переменными $x$, $y$ и $z$:
\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ -\frac{1}{2};x;y;z;-\frac{1}{6} \right\}\]
Отметим, что число $y$ является «серединой» нашей последовательности — оно равноудалено и от чисел $x$ и $z$, и от чисел $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$. И если из чисел $x$ и $z$ мы в данный момент не можем получить $y$, то вот с концами прогрессии дело обстоит иначе. Вспоминаем про среднее арифметическое:
Теперь, зная $y$, мы найдём оставшиеся числа. Заметим, что $x$ лежит между числами $-\frac{1}{2}$ и только что найденным $y=-\frac{1}{3}$. Поэтому
Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:
Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.
Ответ: $-\frac{5}{12};\ -\frac{1}{3};\ -\frac{1}{4}$
Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.
Решение. Ещё более сложная задача, которая, однако, решается по той же схеме, что и предыдущие — через среднее арифметическое. Проблема в том, что нам неизвестно, сколько конкретно чисел надо вставить. Поэтому положим для опредлённости, что после вставки всего будет ровно $n$ чисел, причём первое из них — это 2, а последнее — 42. В этом случае искомая арифметическая прогрессия представима в виде:
\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ 2;{{a}_{2}};{{a}_{3}};...;{{a}_{n-1}};42 \right\}\]
\[{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56\]
Заметим, однако, что числа ${{a}_{2}}$ и ${{a}_{n-1}}$ получаются из стоящих по краям чисел 2 и 42 путём одного шага навстречу друг другу, т.е. к центру последовательности. А это значит, что
\[{{a}_{2}}+{{a}_{n-1}}=2+42=44\]
Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:
\[\begin{align} & {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56; \\ & \left({{a}_{2}}+{{a}_{n-1}} \right)+{{a}_{3}}=56; \\ & 44+{{a}_{3}}=56; \\ & {{a}_{3}}=56-44=12. \\ \end{align}\]
Зная ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{1}}$, мы легко найдём разность прогрессии:
\[\begin{align} & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=12-2=10; \\ & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end{align}\]
Осталось лишь найти остальные члены:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}=2; \\ & {{a}_{2}}=2+5=7; \\ & {{a}_{3}}=12; \\ & {{a}_{4}}=2+3\cdot 5=17; \\ & {{a}_{5}}=2+4\cdot 5=22; \\ & {{a}_{6}}=2+5\cdot 5=27; \\ & {{a}_{7}}=2+6\cdot 5=32; \\ & {{a}_{8}}=2+7\cdot 5=37; \\ & {{a}_{9}}=2+8\cdot 5=42; \\ \end{align}\]
Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Текстовые задачи с прогрессиями
В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.
Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?
Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}=62;\quad d=14; \\ & {{a}_{n}}=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end{align}\]
Ноябрь — это 11-й месяц в году, поэтому нам нужно найти ${{a}_{11}}$:
\[{{a}_{11}}=62+10\cdot 14=202\]
Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.
Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?
Решение. Всё то же самое:
$\begin{align} & {{a}_{1}}=216;\quad d=4; \\ & {{a}_{n}}=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end{align}$
Декабрь — это последний, 12-й месяц в году, поэтому ищем ${{a}_{12}}$:
\[{{a}_{12}}=216+11\cdot 4=260\]
Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.
Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение транспонированной матрицы A T .
- Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
- Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
- Определение алгебраических дополнений.
- Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
Пример №1 . Запишем матрицу в виде:
| A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
- Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
- Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .