Il piano tangente e la normale alla superficie ne sono esempi. Piano tangente alla superficie

Consideriamo una superficie definita da un'equazione della forma

Introduciamo la seguente definizione.

Definizione 1. Una linea retta è detta tangente alla superficie in un punto se lo è

tangente a qualsiasi curva giacente sulla superficie e passante per il punto.

Poiché per il punto P passano infinite curve diverse che giacciono sulla superficie, allora, in generale, ci saranno infinite tangenti alla superficie che passano per questo punto.

Introduciamo il concetto di punto singolare e ordinario di una superficie

Se in un punto tutte e tre le derivate sono uguali a zero o almeno una di queste derivate non esiste, allora il punto M si dice punto singolare della superficie. Se in un punto esistono tutte e tre le derivate e sono continue, e almeno una di esse è diversa da zero, allora il punto M si dice punto ordinario della superficie.

Ora possiamo formulare il seguente teorema.

Teorema. Tutte le linee tangenti ad una data superficie (1) nel suo punto ordinario P giacciono sullo stesso piano.

Prova. Consideriamo una certa linea L sulla superficie (fig. 206) passante per un dato punto P della superficie. Sia la curva in esame data da equazioni parametriche

La tangente alla curva sarà la tangente alla superficie. Le equazioni di questa tangente hanno la forma

Se le espressioni (2) vengono sostituite nell'equazione (1), allora questa equazione si trasformerà in un'identità rispetto a t, poiché la curva (2) giace sulla superficie (1). Differenziandolo otteniamo

Le proiezioni di questo vettore dipendono - dalle coordinate del punto P; si noti che poiché il punto P è ordinario, queste proiezioni nel punto P non svaniscono contemporaneamente e quindi

tangente ad una curva passante per il punto P e giacente sulla superficie. Le proiezioni di questo vettore sono calcolate in base alle equazioni (2) al valore del parametro t corrispondente al punto P.

Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori N e che è uguale alla somma dei prodotti delle proiezioni omonime:

Basandosi sull'uguaglianza (3), l'espressione a destra è uguale a zero, quindi,

Dall'ultima uguaglianza segue che il vettore LG e il vettore tangente alla curva (2) nel punto P sono perpendicolari. Il ragionamento sopra vale per qualsiasi curva (2) passante per il punto P e giacente sulla superficie. Di conseguenza ciascuna tangente alla superficie nel punto P è perpendicolare allo stesso vettore N e quindi tutte queste tangenti giacciono sullo stesso piano perpendicolare al vettore LG. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Il piano in cui si trovano tutte le linee tangenti alle linee sulla superficie che passano per il suo punto P è chiamato piano tangente alla superficie nel punto P (Fig. 207).

Si noti che nei punti singolari della superficie potrebbe non esserci un piano tangente. In tali punti le linee tangenti alla superficie potrebbero non trovarsi sullo stesso piano. Ad esempio, il vertice di una superficie conica è un punto singolare.

Le tangenti alla superficie conica in questo punto non giacciono sullo stesso piano (formano esse stesse una superficie conica).

Scriviamo l'equazione del piano tangente alla superficie (1) in un punto ordinario. Poiché questo piano è perpendicolare al vettore (4), quindi, la sua equazione ha la forma

Se l'equazione della superficie è data nella forma o l'equazione del piano tangente in questo caso assume la forma

Commento. Se inseriamo la formula (6), questa formula assumerà la forma

il suo membro destro è il differenziale completo della funzione. Quindi, . Pertanto, il differenziale totale di una funzione di due variabili in un punto corrispondente agli incrementi delle variabili indipendenti xey è uguale all'incremento corrispondente dell'applicata del piano tangente alla superficie, che è il grafico di questa funzione.

Definizione 3. Una linea retta tracciata attraverso un punto della superficie (1) perpendicolare al piano tangente è chiamata normale alla superficie (Fig. 207).

Vale a dire, su ciò che vedi nel titolo. Essenzialmente, questo è un “analogo spaziale” Problemi di ricerca della tangente E normali al grafico di una funzione di una variabile, e quindi non dovrebbero sorgere difficoltà.

Cominciamo con le domande fondamentali: COS'È un piano tangente e COS'È una normale? Molte persone comprendono questi concetti a livello di intuizione. Il modello più semplice che mi viene in mente è una palla su cui giace un sottile pezzo di cartone piatto. Il cartone si trova il più vicino possibile alla sfera e la tocca in un unico punto. Inoltre, nel punto di contatto è fissato con un ago che sporge verso l'alto.

In teoria esiste una definizione piuttosto ingegnosa di piano tangente. Immagina un libero superficie e il punto che gli appartiene. Ovviamente, molto passa attraverso il punto linee spaziali, che appartengono a questa superficie. Chi ha quali associazioni? =) ...personalmente ho immaginato un polipo. Supponiamo che ciascuna di queste linee abbia tangente spaziale al punto .

Definizione 1: piano tangente in superficie in un punto - questo è aereo, contenente le tangenti a tutte le curve che appartengono a una data superficie e passano per il punto.

Definizione 2: normale in superficie in un punto - questo è Dritto, passante per un punto dato perpendicolare al piano tangente.

Semplice ed elegante. A proposito, per non morire di noia per la semplicità del materiale, poco dopo condividerò con te un elegante segreto che ti permetterà di dimenticare di stipare varie definizioni UNA VOLTA PER TUTTE.

Facciamo conoscenza con le formule di lavoro e l'algoritmo di soluzione utilizzando un esempio specifico. Nella stragrande maggioranza dei problemi è necessario costruire sia l’equazione del piano tangente che l’equazione normale:

Esempio 1

Soluzione:se la superficie è data dall'equazione (cioè implicitamente), allora l'equazione del piano tangente ad una data superficie in un punto può essere trovata utilizzando la seguente formula:

Presto particolare attenzione alle derivate parziali insolite: le loro non deve essere confuso Con derivate parziali di una funzione specificata implicitamente (sebbene la superficie sia specificata implicitamente). Quando si trovano questi derivati, bisogna essere guidati da regole per differenziare una funzione di tre variabili, cioè quando si differenzia rispetto a qualsiasi variabile, le altre due lettere sono considerate costanti:

Senza uscire dal registratore di cassa, troviamo la derivata parziale nel punto:

Allo stesso modo:

Questo è stato il momento più spiacevole della decisione, in cui un errore, se non consentito, appare costantemente. Tuttavia, qui esiste una tecnica di verifica efficace, di cui ho parlato in classe. Derivata direzionale e gradiente.

Tutti gli “ingredienti” sono stati trovati e ora si tratta di un’attenta sostituzione con ulteriori semplificazioni:

– equazione generale il piano tangente desiderato.

Consiglio vivamente di controllare anche questa fase della soluzione. Per prima cosa devi assicurarti che le coordinate del punto tangente soddisfino realmente l'equazione trovata:

- vera uguaglianza.

Ora “togliamo” i coefficienti dell'equazione generale del piano e ne controlliamo la coincidenza o la proporzionalità con i valori corrispondenti. In questo caso sono proporzionali. Come ricordi da corso di geometria analitica, - Questo vettore normale piano tangente, e lo è anche lui vettore guida retta normale. Componiamo equazioni canoniche normali per punto e vettore di direzione:

In linea di principio, i denominatori possono essere ridotti di due, ma ciò non è particolarmente necessario

Risposta:

Non è vietato designare le equazioni con alcune lettere, ma, ancora una volta, perché? Qui è già estremamente chiaro cosa è cosa.

I due esempi seguenti devono essere risolti da soli. Un piccolo “scioglilingua matematico”:

Esempio 2

Trova le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie in quel punto.

E un compito interessante dal punto di vista tecnico:

Esempio 3

Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie in un punto

Al punto.

C'è ogni possibilità non solo di confondersi, ma anche di incontrare difficoltà durante la registrazione equazioni canoniche della retta. E le equazioni normali, come probabilmente capirai, di solito sono scritte in questa forma. Sebbene, per dimenticanza o ignoranza di alcune sfumature, la forma parametrica sia più che accettabile.

Esempi approssimativi dell'esecuzione finale delle soluzioni alla fine della lezione.

Esiste un piano tangente in ogni punto della superficie? In generale, ovviamente no. L'esempio classico è superficie conica e punto: le tangenti in questo punto formano direttamente una superficie conica e, ovviamente, non giacciono sullo stesso piano. È facile verificare analiticamente che qualcosa non va: .

Un'altra fonte di problemi è il fatto non-esistenza qualsiasi derivata parziale in un punto. Ciò però non significa che in un dato punto non esista un unico piano tangente.

Ma si trattava, piuttosto, di divulgazione scientifica piuttosto che di informazioni praticamente significative, e torniamo alle questioni urgenti:

Come scrivere le equazioni per il piano tangente e la normale ad un punto,
se la superficie è specificata da una funzione esplicita?

Riscriviamolo implicitamente:

E utilizzando gli stessi principi troviamo le derivate parziali:

Pertanto, la formula del piano tangente viene trasformata nella seguente equazione:

E di conseguenza, le equazioni normali canoniche:

Come puoi immaginare, - questi sono già “reali” Derivate parziali di una funzione di due variabili nel punto, che noi indicavamo con la lettera “z” e sono stati ritrovati 100500 volte.

Tieni presente che in questo articolo è sufficiente ricordare la primissima formula, dalla quale, se necessario, è facile ricavare tutto il resto (ovviamente avendo un livello base di formazione). Questo è esattamente l'approccio che dovrebbe essere utilizzato quando si studiano le scienze esatte, ad es. da un minimo di informazioni dobbiamo sforzarci di “trarre” il massimo di conclusioni e conseguenze. La “considerazione” e le conoscenze esistenti aiuteranno! Questo principio è utile anche perché molto probabilmente ti salverà in una situazione critica quando sai molto poco.

Elaboriamo le formule “modificate” con un paio di esempi:

Esempio 4

Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie al punto .

C'è una leggera sovrapposizione qui con le notazioni - ora la lettera denota un punto sull'aereo, ma cosa puoi fare - una lettera così popolare...

Soluzione: componiamo l'equazione del piano tangente desiderato utilizzando la formula:

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

Calcoliamo Derivate parziali del 1° ordine a questo punto:

Così:

attenzione, non avere fretta:

Scriviamo le equazioni canoniche della normale nel punto:

Risposta:

E un ultimo esempio per la tua soluzione:

Esempio 5

Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie in quel punto.

Finale - perché ho spiegato praticamente tutti i punti tecnici e non c'è niente di speciale da aggiungere. Anche le funzioni stesse proposte in questo compito sono noiose e monotone: in pratica è quasi garantito che ti imbatti in un "polinomio", e in questo senso l'Esempio n. 2 con un esponente sembra una "pecora nera". A proposito, è molto più probabile incontrare una superficie definita da un'equazione, e questo è un altro motivo per cui la funzione è stata inclusa nell'articolo come numero due.

E infine, il segreto promesso: come evitare allora di stipare definizioni? (Ovviamente non intendo la situazione in cui uno studente stipa febbrilmente qualcosa prima di un esame)

La definizione di qualsiasi concetto/fenomeno/oggetto dà innanzitutto una risposta alla seguente domanda: COS'È? (chi/tali/tali/sono). Consapevolmente Quando rispondi a questa domanda, dovresti provare a riflettere significativo segni, decisamente identificare un particolare concetto/fenomeno/oggetto. Sì, all'inizio risulta essere un po 'lecito, impreciso e ridondante (l'insegnante ti correggerà =)), ma col tempo si sviluppa un discorso scientifico abbastanza decente.

Esercitati sugli oggetti più astratti, ad esempio, rispondi alla domanda: chi è Cheburashka? Non è così semplice ;-) Si tratta di un “personaggio da favola con grandi orecchie, occhi e pelo marrone”? Lontano, molto lontano dalla definizione: non si sa mai che esistano personaggi con tali caratteristiche... Ma questo è molto più vicino alla definizione: “Cheburashka è un personaggio inventato dallo scrittore Eduard Uspensky nel 1966, che ... (elenco delle principali caratteristiche distintive)”. Nota come è iniziato bene

Ad un certo punto e ha derivate parziali continue, almeno una delle quali non si annulla, allora in prossimità di questo punto la superficie definita dall'equazione (1) sarà la giusta superficie.

In aggiunta a quanto sopra modo implicito di specificare la superficie può essere definita ovviamente, se una delle variabili, ad esempio z, può essere espressa in termini delle altre:

C'è anche parametrico modalità di assegnazione. In questo caso, la superficie è determinata dal sistema di equazioni:

Il concetto di superficie semplice

Più accuratamente, superficie semplice è chiamata l'immagine di una mappatura omeomorfa (cioè una mappatura uno a uno e mutuamente continua) dell'interno di un quadrato unitario. A questa definizione può essere data un'espressione analitica.

Sia dato un quadrato su un piano con un sistema di coordinate rettangolari u e v, le cui coordinate dei punti interni soddisfano le disuguaglianze 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Esempio superficie sempliceè un emisfero. L'intera sfera non lo è superficie semplice. Ciò richiede un’ulteriore generalizzazione del concetto di superficie.

Un sottoinsieme dello spazio, ciascun punto del quale ha un intorno superficie semplice, chiamato la giusta superficie .

Superficie in geometria differenziale

Elicoide

Catenoide

La metrica non determina in modo univoco la forma della superficie. Ad esempio, la metrica di un elicoide e di una catenoide, parametrizzate di conseguenza, coincide, cioè esiste una corrispondenza tra le loro regioni che preserva tutte le lunghezze (isometria). Vengono chiamate le proprietà conservate nelle trasformazioni isometriche geometria interna superfici. La geometria interna non dipende dalla posizione della superficie nello spazio e non cambia quando viene piegata senza tensione o compressione (ad esempio, quando un cilindro viene piegato a cono).

I coefficienti metrici determinano non solo le lunghezze di tutte le curve, ma anche in generale i risultati di tutte le misurazioni all'interno della superficie (angoli, aree, curvatura, ecc.). Pertanto, tutto ciò che dipende solo dalla metrica si riferisce alla geometria interna.

Sezione normale e normale

Vettori normali ai punti della superficie

Una delle caratteristiche principali di una superficie è la sua normale- vettore unitario perpendicolare al piano tangente in un dato punto:

.

Il segno della normale dipende dalla scelta delle coordinate.

La sezione di una superficie mediante un piano contenente la normale (in un dato punto) forma sulla superficie una certa curva, che viene chiamata sezione normale superfici. La normale principale di una sezione normale coincide con la normale alla superficie (fino al segno).

Se la curva sulla superficie non è una sezione normale, la sua normale principale forma un certo angolo θ con la normale alla superficie. Poi la curvatura K curva relativa alla curvatura K N sezione normale (con la stessa tangente) dalla formula di Meunier:

Le coordinate del vettore unitario normale per diversi metodi di definizione di una superficie sono riportate nella tabella:

	Coordinate normali in un punto della superficie
assegnazione implicita
assegnazione esplicita
specifica parametrica

Curvatura

Per direzioni diverse in un dato punto della superficie, si ottiene una diversa curvatura della sezione normale, che viene chiamata curvatura normale; gli viene assegnato un segno più se la normale principale della curva va nella stessa direzione della normale alla superficie, oppure un segno meno se le direzioni delle normali sono opposte.

In generale, in ogni punto di una superficie ci sono due direzioni perpendicolari e 1 e e 2, in cui la curvatura normale assume valori minimo e massimo; vengono chiamate queste direzioni principale. L'eccezione è il caso in cui la curvatura normale in tutte le direzioni è la stessa (ad esempio, vicino a una sfera o all'estremità di un ellissoide di rivoluzione), quindi tutte le direzioni in un punto sono principali.

Superfici con curvatura negativa (sinistra), zero (centro) e positiva (destra).

Si chiamano curvature normali nelle direzioni principali curvature principali; denotiamoli κ 1 e κ 2. Misurare:

K= κ 1 κ 2

chiamato Curvatura gaussiana, curvatura completa o semplicemente curvatura superfici. C'è anche il termine curvatura scalare, che implica il risultato della convoluzione del tensore di curvatura; in questo caso la curvatura scalare è due volte più grande della curvatura gaussiana.

La curvatura gaussiana può essere calcolata tramite una metrica, ed è quindi oggetto della geometria intrinseca delle superfici (si noti che le curvature principali non appartengono alla geometria intrinseca). È possibile classificare i punti della superficie in base al segno di curvatura (vedi figura). La curvatura del piano è zero. La curvatura di una sfera di raggio R è uguale ovunque. C'è anche una superficie di curvatura negativa costante: la pseudosfera.

Linee geodetiche, curvatura geodetica

La curva sulla superficie si chiama linea geodetica, o semplicemente geodetico, se in tutti i suoi punti la normale principale alla curva coincide con la normale alla superficie. Esempio: su un piano, le geodetiche sono linee rette e segmenti di linee rette, su una sfera - cerchi massimi e loro segmenti.

Definizione equivalente: per una linea geodetica, la proiezione della sua normale principale sul piano osculatore è il vettore zero. Se la curva non è geodetica, la proiezione specificata è diversa da zero; si chiama la sua lunghezza curvatura geodetica K G curva sulla superficie. Esiste una relazione:

,

Dove K- curvatura di questa curva, K N- la curvatura della sua sezione normale con la stessa tangente.

Le linee geodetiche si riferiscono alla geometria interna. Elenchiamo le loro principali proprietà.

• Per un dato punto della superficie in una data direzione passa una ed una sola geodetica.
• Su un'area sufficientemente piccola della superficie, due punti possono sempre essere collegati da una geodetica e, inoltre, solo da uno. Spiegazione: su una sfera, i poli opposti sono collegati da un numero infinito di meridiani, e due punti vicini possono essere collegati non solo da un segmento di un cerchio grande, ma anche dalla sua aggiunta a un cerchio completo, in modo che l'unicità sia mantenuta solo nel piccolo.
• Una geodetica è il percorso più breve. Più rigorosamente: su un piccolo pezzo di superficie il percorso più breve tra determinati punti si trova lungo una geodetica.

Piazza

Un altro attributo importante della superficie è il suo piazza, che si calcola con la formula:

In coordinate otteniamo:

	assegnazione esplicita	specifica parametrica
espressione dell'area

Una superficie è definita come un insieme di punti le cui coordinate soddisfano un certo tipo di equazione:

F (x, y, z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Se la funzione F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))è continua in un punto e ha derivate parziali continue in esso, almeno una delle quali non si annulla, allora in prossimità di questo punto la superficie data dall'equazione (1) sarà la giusta superficie.

In aggiunta a quanto sopra modo implicito di specificare, la superficie può essere definita ovviamente, se una delle variabili, ad esempio z, può essere espressa in termini delle altre:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Più rigorosamente superficie semplice è chiamata l'immagine di una mappatura omeomorfa (cioè una mappatura uno a uno e mutuamente continua) dell'interno di un quadrato unitario. A questa definizione può essere data un'espressione analitica.

Sia dato un quadrato su un piano con un sistema di coordinate rettangolari u e v, le cui coordinate dei punti interni soddisfano le disuguaglianze 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Esempio superficie sempliceè un emisfero. L'intera sfera non lo è superficie semplice. Ciò richiede un’ulteriore generalizzazione del concetto di superficie.

Un sottoinsieme dello spazio, ciascun punto del quale ha un intorno superficie semplice, chiamato la giusta superficie .

Superficie in geometria differenziale

Elicoide

Catenoide

La metrica non determina in modo univoco la forma della superficie. Ad esempio, la metrica di un elicoide e di una catenoide, parametrizzate di conseguenza, coincidono, cioè tra le loro regioni esiste una corrispondenza che preserva tutte le lunghezze (isometria). Vengono chiamate le proprietà conservate nelle trasformazioni isometriche geometria interna superfici. La geometria interna non dipende dalla posizione della superficie nello spazio e non cambia quando viene piegata senza tensione o compressione (ad esempio, quando un cilindro viene piegato a cono).

Coefficienti metrici Mi , Fa , Sol (\displaystyle Mi,\ Fa,\ Sol) determinare non solo le lunghezze di tutte le curve, ma anche in generale i risultati di tutte le misurazioni all'interno della superficie (angoli, aree, curvatura, ecc.). Pertanto, tutto ciò che dipende solo dalla metrica si riferisce alla geometria interna.

Sezione normale e normale

Vettori normali ai punti della superficie

Una delle caratteristiche principali di una superficie è la sua normale- vettore unitario perpendicolare al piano tangente in un dato punto:

m = [r u′, r v′] | [r u′, r v′] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Il segno della normale dipende dalla scelta delle coordinate.

Una sezione di una superficie lungo un piano contenente la normale alla superficie in un dato punto forma una certa curva chiamata sezione normale superfici. La normale principale di una sezione normale coincide con la normale alla superficie (fino al segno).

Se la curva sulla superficie non è una sezione normale, la sua normale principale forma un certo angolo con la normale alla superficie θ (\displaystyle \theta ). Poi la curvatura k (\displaystyle k) curva relativa alla curvatura kn (\displaystyle k_(n)) sezione normale (con la stessa tangente) dalla formula di Meunier:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Le coordinate del vettore unitario normale per diversi metodi di definizione di una superficie sono riportate nella tabella:

	Coordinate normali in un punto della superficie
assegnazione implicita	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\sinistra((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
assegnazione esplicita	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ parziale x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
specifica parametrica	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\destra)^(2)))))

Qui D (y, z) D (u, v) = | y u′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z, x) D (u, v) = | zu′zv′xu′xv′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ Begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Tutte le derivate vengono prese al punto (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Curvatura

Per direzioni diverse in un dato punto della superficie, si ottiene una diversa curvatura della sezione normale, che viene chiamata curvatura normale; gli viene assegnato un segno più se la normale principale della curva va nella stessa direzione della normale alla superficie, oppure un segno meno se le direzioni delle normali sono opposte.

In generale, in ogni punto di una superficie ci sono due direzioni perpendicolari e 1 (\displaystyle e_(1)) E e2 (\displaystyle e_(2)), in cui la curvatura normale assume valori minimo e massimo; vengono chiamate queste direzioni principale. L'eccezione è il caso in cui la curvatura normale in tutte le direzioni è la stessa (ad esempio, vicino a una sfera o all'estremità di un ellissoide di rivoluzione), quindi tutte le direzioni in un punto sono principali.

Superfici con curvatura negativa (sinistra), zero (centro) e positiva (destra).

Si chiamano curvature normali nelle direzioni principali curvature principali; designiamoli κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) E κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Misurare:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

chiamata curvatura gaussiana, curvatura totale o semplicemente curvatura superficiale. C'è anche il termine curvatura scalare, che implica il risultato della convoluzione del tensore di curvatura; in questo caso la curvatura scalare è due volte più grande della curvatura gaussiana.

La curvatura gaussiana può essere calcolata tramite una metrica, ed è quindi oggetto della geometria intrinseca delle superfici (si noti che le curvature principali non appartengono alla geometria intrinseca). È possibile classificare i punti della superficie in base al segno di curvatura (vedi figura). La curvatura del piano è zero. La curvatura di una sfera di raggio R è uguale ovunque 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). C'è anche una superficie di curvatura negativa costante -