(lat. ampiezza- magnitudo) è la massima deviazione di un corpo oscillante dalla sua posizione di equilibrio.
Per un pendolo, questa è la distanza massima alla quale la palla si allontana dalla sua posizione di equilibrio (figura sotto). Per le oscillazioni con piccole ampiezze, tale distanza può essere presa come la lunghezza dell'arco 01 o 02 e le lunghezze di questi segmenti.
L'ampiezza delle oscillazioni è misurata in unità di lunghezza: metri, centimetri, ecc. Sul grafico delle oscillazioni, l'ampiezza è definita come l'ordinata massima (modulo) della curva sinusoidale (vedere la figura sotto).
Periodo di oscillazione.
Periodo di oscillazione- è il periodo di tempo più breve attraverso il quale un sistema oscillante ritorna nuovamente nello stesso stato in cui si trovava nell'istante iniziale, scelto arbitrariamente.
In altre parole, il periodo di oscillazione ( T) è il tempo durante il quale si verifica un'oscillazione completa. Ad esempio, nella figura seguente, questo è il tempo impiegato dal pendolo per spostarsi dal punto più a destra attraverso il punto di equilibrio DI fino al punto all'estrema sinistra e tornare indietro attraverso il punto DI ancora una volta all'estrema destra.
Durante un intero periodo di oscillazione, il corpo percorre quindi un percorso pari a quattro ampiezze. Il periodo di oscillazione viene misurato in unità di tempo: secondi, minuti, ecc. Il periodo di oscillazione può essere determinato da un noto grafico delle oscillazioni (vedere la figura sotto).
Il concetto di “periodo di oscillazione”, in senso stretto, è valido solo quando i valori della grandezza oscillante si ripetono esattamente dopo un certo periodo di tempo, cioè per le oscillazioni armoniche. Tuttavia, questo concetto si applica anche ai casi di quantità approssimativamente ripetute, ad esempio per oscillazioni smorzate.
Frequenza di oscillazione.
Frequenza di oscillazione- questo è il numero di oscillazioni eseguite per unità di tempo, ad esempio in 1 s.
Viene denominata l'unità SI di frequenza hertz(Hz) in onore del fisico tedesco G. Hertz (1857-1894). Se la frequenza di oscillazione ( v) è uguale a 1 Hz, questo significa che ogni secondo c'è un'oscillazione. La frequenza e il periodo delle oscillazioni sono legati dalle relazioni:
Anche nella teoria delle oscillazioni si usa il concetto ciclico, O frequenza circolare ω . È legato alla frequenza normale v e periodo di oscillazione T rapporti:
.
Frequenza ciclicaè il numero di oscillazioni eseguite per 2π secondi
Movimento oscillatorio- movimento periodico o quasi periodico di un corpo, le cui coordinate, velocità e accelerazione ad intervalli di tempo uguali assumono approssimativamente gli stessi valori.
Le vibrazioni meccaniche si verificano quando, quando un corpo viene spostato da una posizione di equilibrio, appare una forza che tende a riportare indietro il corpo.
Lo spostamento x è la deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio.
L'ampiezza A è il modulo dello spostamento massimo del corpo.
Periodo di oscillazione T - tempo di un'oscillazione:
Frequenza di oscillazione
Il numero di oscillazioni eseguite da un corpo nell'unità di tempo: Durante le oscillazioni, la velocità e l'accelerazione cambiano periodicamente. Nella posizione di equilibrio la velocità è massima e l'accelerazione è nulla. Nei punti di massimo spostamento l'accelerazione raggiunge il massimo e la velocità diventa zero.
SCHEMA DI VIBRAZIONE ARMONICA
Armonico le vibrazioni che si verificano secondo la legge del seno o del coseno sono chiamate:
dove x(t) è lo spostamento del sistema al tempo t, A è l'ampiezza, ω è la frequenza ciclica delle oscillazioni.
Se tracciamo la deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio lungo l'asse verticale e il tempo lungo l'asse orizzontale, otterremo un grafico dell'oscillazione x = x(t) - la dipendenza dello spostamento del corpo dal tempo. Per le oscillazioni armoniche libere, è un'onda sinusoidale o coseno. La figura mostra i grafici della dipendenza dello spostamento x, delle proiezioni della velocità V x e dell'accelerazione a x dal tempo.
Come si vede dai grafici, al massimo spostamento x, la velocità V del corpo oscillante è nulla, l'accelerazione a, e quindi la forza agente sul corpo, è massima e diretta in senso opposto allo spostamento. Nella posizione di equilibrio, lo spostamento e l'accelerazione diventano zero e la velocità è massima. La proiezione dell'accelerazione ha sempre il segno opposto allo spostamento.
ENERGIA DEL MOTO VIBRAZIONALE
L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è pari alla somma della sua energia cinetica e potenziale e, in assenza di attrito, rimane costante:
Nel momento in cui lo spostamento raggiunge il massimo x = A, la velocità, e con essa l'energia cinetica, va a zero.
In questo caso l’energia totale è uguale all’energia potenziale:
L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato dell'ampiezza delle sue oscillazioni.
Quando il sistema supera la posizione di equilibrio, lo spostamento e l'energia potenziale sono pari a zero: x = 0, E p = 0. Pertanto, l'energia totale è uguale all'energia cinetica:
L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato della sua velocità nella posizione di equilibrio. Quindi:
PENDOLO MATEMATICO
1. Pendolo matematicoè un punto materiale sospeso su un filo inestensibile senza peso.
Nella posizione di equilibrio, la forza di gravità è compensata dalla tensione del filo. Se il pendolo viene deviato e rilasciato, le forze cesseranno di compensarsi a vicenda e si formerà una forza risultante diretta verso la posizione di equilibrio. Seconda legge di Newton:
Per piccole oscillazioni, quando lo spostamento x è molto inferiore a l, il punto materiale si sposterà quasi lungo l'asse x orizzontale. Allora dal triangolo MAB otteniamo:
Perché peccato a = x/l, allora la proiezione della forza risultante R sull'asse x è uguale a
Il segno meno indica che la forza R è sempre diretta in direzione opposta allo spostamento x.
2. Quindi, durante le oscillazioni di un pendolo matematico, così come durante le oscillazioni di un pendolo a molla, la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento ed è diretta nella direzione opposta.
Confrontiamo le espressioni per la forza di richiamo dei pendoli matematici e a molla:
Si può vedere che mg/l è un analogo di k. Sostituendo k con mg/l nella formula per il periodo di un pendolo a molla
otteniamo la formula per il periodo di un pendolo matematico:
Il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo matematico non dipende dall'ampiezza.
Un pendolo matematico viene utilizzato per misurare il tempo e determinare l'accelerazione di gravità in un determinato punto della superficie terrestre.
Le oscillazioni libere di un pendolo matematico a piccoli angoli di deflessione sono armoniche. Si verificano a causa della forza di gravità risultante e della forza di tensione del filo, nonché dell'inerzia del carico. La risultante di queste forze è la forza di ripristino.
Esempio. Determina l'accelerazione dovuta alla gravità su un pianeta in cui un pendolo lungo 6,25 m ha un periodo di oscillazione libera di 3,14 s.
Il periodo di oscillazione di un pendolo matematico dipende dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di gravità:
Elevando al quadrato entrambi i membri dell'uguaglianza, otteniamo:
Risposta: l'accelerazione di gravità è 25 m/s 2 .
Compiti e test sull'argomento "Argomento 4. "Meccanica. Oscillazioni e onde."
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Il movimento del pendolo in un orologio, un terremoto, la corrente alternata in un circuito elettrico, i processi di trasmissione radio e ricezione radio sono processi completamente diversi che non sono correlati tra loro. Ognuno di essi ha le sue ragioni speciali, ma sono accomunati da una caratteristica: un segno della natura comune dei cambiamenti nelle quantità fisiche nel tempo. In molti casi risulta opportuno considerare questi e molti altri processi di varia natura fisica come un tipo speciale di fenomeni fisici: le oscillazioni.
Una caratteristica comune dei fenomeni fisici chiamati oscillazioni è la loro ripetibilità nel tempo. Con diverse nature fisiche, molte vibrazioni si verificano secondo le stesse leggi, il che rende possibile l'uso di metodi generali per la loro descrizione e analisi.
Vibrazioni armoniche. Tra il gran numero di vibrazioni diverse presenti in natura e nella tecnologia, le vibrazioni armoniche sono particolarmente comuni. Le oscillazioni che si verificano secondo la legge del coseno o del seno sono chiamate armoniche:
dov'è la quantità che subisce fluttuazioni; - tempo; - un valore costante, il cui significato verrà chiarito ulteriormente.
Il valore massimo di una quantità che varia secondo una legge armonica è chiamato ampiezza delle oscillazioni. L'argomento coseno o seno per le oscillazioni armoniche è chiamato fase di oscillazione
La fase di oscillazione nell'istante iniziale è chiamata fase iniziale. La fase iniziale determina il valore della quantità nell'istante temporale iniziale
I valori della funzione seno o coseno si ripetono quando l'argomento della funzione cambia di , quindi, con oscillazioni armoniche, i valori della quantità si ripetono quando cambia la fase dell'oscillazione di . Nel caso invece di un'oscillazione armonica, la grandezza deve assumere gli stessi valori dopo un intervallo di tempo chiamato periodo di oscillazione T. Di conseguenza non si verifica il cambiamento di fase
attraverso il periodo di oscillazione T. Per il caso in cui si ottiene:
Dall'espressione (1.2) segue che la costante nell'equazione delle oscillazioni armoniche è il numero di oscillazioni che si verificano in secondi. La quantità è chiamata frequenza ciclica delle oscillazioni. Utilizzando l'espressione (1.2), l'equazione (1.1) può essere espressa in termini di frequenza o periodo T delle oscillazioni:
Insieme al metodo analitico per descrivere le oscillazioni armoniche, sono ampiamente utilizzati metodi grafici per rappresentarle.
Il primo metodo consiste nel specificare un grafico delle oscillazioni in un sistema di coordinate cartesiane. Il tempo I è tracciato lungo l'asse delle ascisse e il valore della quantità variabile è tracciato lungo l'asse delle ordinate. Per le oscillazioni armoniche, questo grafico è un'onda sinusoidale o coseno (Fig. 1).
Il secondo modo di rappresentare il processo oscillatorio è spettrale. L'ampiezza viene misurata lungo l'asse delle ordinate e la frequenza delle oscillazioni armoniche viene misurata lungo l'asse delle ascisse. Un processo oscillatorio armonico con frequenza e ampiezza è rappresentato in questo caso da un segmento di retta verticale tracciato dal punto con la coordinata sull'asse delle ascisse (Fig. 2).
Il terzo modo per descrivere le oscillazioni armoniche è il metodo dei diagrammi vettoriali. In questo metodo si utilizza la seguente tecnica, puramente formale, per trovare in ogni istante il valore di una grandezza che cambia secondo una legge armonica:
Selezioniamo un asse di coordinate diretto arbitrariamente sul piano lungo il quale misureremo la quantità che ci interessa. Dall'origine delle coordinate lungo l'asse disegniamo un vettore il cui modulo è uguale all'ampiezza dell'oscillazione armonica xm. Se ora immaginiamo che il vettore ruoti attorno all'origine delle coordinate nel piano con una velocità angolare costante c in senso antiorario, allora l'angolo a tra il vettore rotante e l'asse in qualsiasi momento è determinato dall'espressione.
I cambiamenti di qualsiasi quantità sono descritti utilizzando le leggi del seno o del coseno, quindi tali oscillazioni sono chiamate armoniche. Consideriamo un circuito costituito da un condensatore (che veniva caricato prima di essere inserito nel circuito) e un induttore (Fig. 1).
Immagine 1.
L’equazione della vibrazione armonica può essere scritta come segue:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
dove $t$ è il tempo; Addebito $q$, $q_0$-- deviazione massima dell'addebito dal suo valore medio (zero) durante le modifiche; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fase di oscillazione; $(\alpha )_0$- fase iniziale; $(\omega )_0$ - frequenza ciclica. Durante il periodo, la fase cambia di $2\pi $.
Equazione della forma:
equazione delle oscillazioni armoniche in forma differenziale per un circuito oscillatorio che non conterrà resistenza attiva.
Qualsiasi tipo di oscillazioni periodiche può essere rappresentato accuratamente come una somma di oscillazioni armoniche, le cosiddette serie armoniche.
Per il periodo di oscillazione di un circuito costituito da una bobina e un condensatore si ottiene la formula di Thomson:
Se differenziamo l'espressione (1) rispetto al tempo, possiamo ottenere la formula per la funzione $I(t)$:
La tensione ai capi del condensatore può essere trovata come:
Dalle formule (5) e (6) segue che l'intensità della corrente è superiore alla tensione sul condensatore di $\frac(\pi )(2).$
Le oscillazioni armoniche possono essere rappresentate sia sotto forma di equazioni, funzioni e diagrammi vettoriali.
L'equazione (1) rappresenta oscillazioni libere non smorzate.
Equazione dell'oscillazione smorzata
La variazione di carica ($q$) sulle piastre del condensatore nel circuito, tenendo conto della resistenza (Fig. 2), sarà descritta da un'equazione differenziale della forma:
Figura 2.
Se la resistenza che fa parte del circuito $R\
dove $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ è la frequenza di oscillazione ciclica. $\beta =\frac(R)(2L)-$coefficiente di smorzamento. L’ampiezza delle oscillazioni smorzate è espressa come:
Se per $t=0$ la carica sul condensatore è pari a $q=q_0$ e non c'è corrente nel circuito, allora per $A_0$ possiamo scrivere:
La fase delle oscillazioni nell'istante iniziale ($(\alpha )_0$) è pari a:
Quando $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ la variazione di carica non è un'oscillazione, la scarica del condensatore è detta aperiodica.
Esempio 1
Esercizio: Il valore di addebito massimo è $q_0=10\ C$. Varia armoniosamente con un periodo di $T= 5 s$. Determinare la corrente massima possibile.
Soluzione:
Come base per risolvere il problema utilizziamo:
Per trovare l'intensità attuale, l'espressione (1.1) deve essere differenziata rispetto al tempo:
dove il massimo (valore di ampiezza) della forza attuale è l'espressione:
Dalle condizioni del problema conosciamo il valore dell'ampiezza della carica ($q_0=10\ C$). Dovresti trovare la frequenza naturale delle oscillazioni. Esprimiamolo come:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\sinistra(1.4\destra).\]
In questo caso, il valore desiderato verrà trovato utilizzando le equazioni (1.3) e (1.2) come:
Poiché tutte le quantità nelle condizioni problematiche sono presentate nel sistema SI, eseguiremo i calcoli:
Risposta:$I_0=12.56\A.$
Esempio 2
Esercizio: Qual è il periodo di oscillazione in un circuito che contiene un induttore $L=1$H e un condensatore, se l'intensità della corrente nel circuito cambia secondo la legge: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Qual è la capacità del condensatore?
Soluzione:
Dall'equazione delle fluttuazioni attuali, che è data nelle condizioni del problema:
vediamo che $(\omega )_0=20\pi $, quindi possiamo calcolare il periodo di oscillazione utilizzando la formula:
\ \
Secondo la formula di Thomson per un circuito che contiene un induttore e un condensatore, abbiamo:
Calcoliamo la capacità:
Risposta:$T=0,1$ c, $C=2,5\cpunto (10)^(-4)F.$