Prima di dare il concetto di prodotto vettoriale, passiamo alla questione dell'orientamento di una terna ordinata di vettori a →, b →, c → nello spazio tridimensionale.
Per cominciare, mettiamo da parte i vettori a → , b → , c → da un punto. L'orientamento della tripla a → , b → , c → può essere destra o sinistra, a seconda della direzione del vettore c → stesso. Il tipo di tripla a → , b → , c → sarà determinata dalla direzione in cui viene effettuata la svolta più breve dal vettore a → a b → dalla fine del vettore c → .
Se il giro più breve viene eseguito in senso antiorario, allora si chiama la terna dei vettori a → , b → , c → Giusto, se in senso orario – Sinistra.
Successivamente, prendi due vettori non collineari a → e b →. Tracciamo quindi i vettori A B → = a → e A C → = b → dal punto A. Costruiamo un vettore A D → = c →, che sia contemporaneamente perpendicolare sia ad A B → che ad A C →. Pertanto, quando costruiamo il vettore stesso A D → = c →, possiamo fare due cose, dargli una direzione o quella opposta (vedi illustrazione).
Una terna ordinata di vettori a → , b → , c → può essere, come abbiamo scoperto, destra o sinistra a seconda della direzione del vettore.
Da quanto sopra possiamo introdurre la definizione di prodotto vettoriale. Questa definizione è data per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale.
Definizione 1
Il prodotto vettoriale di due vettori a → e b → chiameremo tale vettore definito in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale tale che:
- se i vettori a → e b → sono collineari, sarà zero;
- sarà perpendicolare sia al vettore a → che al vettore b → cioè ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- la sua lunghezza è determinata dalla formula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- la terna dei vettori a → , b → , c → ha lo stesso orientamento del sistema di coordinate dato.
Il prodotto vettoriale dei vettori a → e b → ha la seguente notazione: a → × b →.
Coordinate del prodotto vettoriale
Poiché ogni vettore ha determinate coordinate nel sistema di coordinate, possiamo introdurre una seconda definizione di prodotto vettoriale, che ci permetterà di trovare le sue coordinate utilizzando le coordinate date dei vettori.
Definizione 2
In un sistema di coordinate rettangolare di spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) è chiamato vettore c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dove i → , j → , k → sono vettori di coordinate.
Il prodotto vettoriale può essere rappresentato come il determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, dove la prima riga contiene i vettori vettoriali i → , j → , k → , la seconda riga contiene le coordinate del vettore a → , e la terza riga contiene le coordinate del vettore b → in un dato sistema di coordinate rettangolari, questo è il determinante della matrice simile a questo: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Espandendo questo determinante negli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Proprietà di un prodotto incrociato
È noto che il prodotto vettoriale in coordinate è rappresentato come il determinante della matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , quindi sulla base proprietà del determinante della matrice vengono visualizzati i seguenti proprietà di un prodotto vettoriale:
- anticommutatività a → × b → = - b → × a → ;
- distributività a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → oppure a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- associatività λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b →, dove λ è un numero reale arbitrario.
Queste proprietà hanno dimostrazioni semplici.
Ad esempio, possiamo dimostrare la proprietà anticommutativa di un prodotto vettoriale.
Prova di anticommutatività
Per definizione, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se due righe della matrice vengono scambiate, il valore del determinante della matrice dovrebbe cambiare al contrario, quindi a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , che e dimostra che il prodotto vettoriale è anticommutativo.
Prodotto Vector: esempi e soluzioni
Nella maggior parte dei casi, ci sono tre tipi di problemi.
Nei problemi del primo tipo, solitamente vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo compreso tra loro, ed è necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. In questo caso, utilizzare la seguente formula c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Esempio 1
Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b → se conosci a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.
Soluzione
Determinando la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, risolviamo questo problema: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Risposta: 15 2 2 .
I problemi del secondo tipo hanno una connessione con le coordinate dei vettori, in essi il prodotto vettoriale, la sua lunghezza, ecc. vengono cercati attraverso le coordinate note di determinati vettori un → = (un x; un y; un z) E b → = (b x ; b y ; b z) .
Per questo tipo di problema, puoi risolvere molte opzioni di attività. Ad esempio, non possono essere specificate le coordinate dei vettori a → e b →, ma la loro espansione in vettori di coordinate della forma b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, oppure i vettori a → e b → possono essere specificati mediante le coordinate del loro inizio e punti finali.
Considera i seguenti esempi.
Esempio 2
In un sistema di coordinate rettangolari sono dati due vettori: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Trova il loro prodotto incrociato.
Soluzione
Con la seconda definizione, troviamo il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate date: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Se scriviamo il prodotto vettoriale attraverso il determinante della matrice, la soluzione di questo esempio sarà simile a questa: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Risposta: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Esempio 3
Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori i → - j → e i → + j → + k →, dove i →, j →, k → sono i vettori unitari del sistema di coordinate cartesiane rettangolari.
Soluzione
Innanzitutto, troviamo le coordinate di un dato prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → in un dato sistema di coordinate rettangolari.
È noto che i vettori i → - j → e i → + j → + k → hanno coordinate rispettivamente (1; - 1; 0) e (1; 1; 1). Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale utilizzando il determinante della matrice, quindi abbiamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Pertanto, il prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → ha coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) nel sistema di coordinate dato.
Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale utilizzando la formula (vedere la sezione sulla ricerca della lunghezza di un vettore): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
Risposta: io → - j → × io → + j → + k → = 6 . .
Esempio 4
In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari vengono fornite le coordinate di tre punti A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Trova un vettore perpendicolare ad A B → e A C → contemporaneamente.
Soluzione
I vettori A B → e A C → hanno rispettivamente le seguenti coordinate (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1). Avendo trovato il prodotto vettoriale dei vettori A B → e A C →, è ovvio che si tratta di un vettore perpendicolare per definizione sia ad A B → che ad A C →, cioè è una soluzione al nostro problema. Troviamolo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Risposta: - 6 i → + j → - 4 k → . - uno dei vettori perpendicolari.
I problemi del terzo tipo si concentrano sull'utilizzo delle proprietà del prodotto vettoriale dei vettori. Dopo aver applicato ciò, otterremo una soluzione al problema indicato.
Esempio 5
I vettori a → e b → sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
Soluzione
Per la proprietà distributiva di un prodotto vettoriale, possiamo scrivere 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Per la proprietà di associatività, togliamo i coefficienti numerici dal segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
I prodotti vettoriali a → × a → e b → × b → sono uguali a 0, poiché a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 e b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, allora 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Dall'anticommutatività del prodotto vettoriale segue - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
Utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo l'uguaglianza 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Per condizione, i vettori a → e b → sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a π 2. Ora non resta che sostituire i valori trovati nelle formule appropriate: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Risposta: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.
La lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori per definizione è uguale a a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Poiché è già noto (dal corso scolastico) che l'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto delle lunghezze dei suoi due lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra questi lati. Di conseguenza, la lunghezza del prodotto vettoriale è uguale all'area del parallelogramma - un triangolo doppio, ovvero il prodotto dei lati sotto forma di vettori a → e b →, stabiliti da un punto, dal seno di l'angolo tra loro sin ∠ a →, b →.
Questo è il significato geometrico di un prodotto vettoriale.
Significato fisico del prodotto vettoriale
In meccanica, una delle branche della fisica, grazie al prodotto vettoriale, è possibile determinare il momento di una forza rispetto ad un punto nello spazio.
Definizione 3
Per il momento della forza F → applicata al punto B, rispetto al punto A, comprenderemo il seguente prodotto vettoriale A B → × F →.
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Utilizzeremo la tabella dei prodotti incrociati dei vettori i, j e k:
se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, allora il prodotto è uguale al terzo vettore; se non coincide, il terzo vettore viene preso con il segno meno.
Siano dati due vettori a=axi +ayj +azk e b =bxi +byj +bzk. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale): 
La formula risultante può essere scritta ancora più brevemente: 
poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde all'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della prima riga. L'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.
7.4. Alcune applicazioni del prodotto incrociato
Determinazione della collinearità dei vettori. 
Trovare l'area di un parallelogramma e di un triangolo
Secondo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori aeb |a xb | = |a| * |b |cantare, cioè S coppie = |a x b |. E quindi DS =1/2|a x b |.
Determinazione del momento di forza attorno ad un punto
Sia applicata una forza F = AB al punto A e sia O un punto nello spazio 
È noto dalla fisica che il momento della forza F relativo al punto O è il vettore M che passa per il punto O e:
1) perpendicolare al piano passante per i punti O, A, B;
2) è numericamente uguale al prodotto della forza esercitata dalla spalla 3) forma una terna destra con i vettori OA e A B.
Pertanto, M = OA x F. Trovare la velocità di rotazione lineare
La velocità v di un punto M di un corpo rigido che ruota con una velocità angolare w attorno ad un asse fisso è determinata dalla formula di Eulero v =w xr, dove r =OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).
Angolo tra i vettori
Dalla definizione del prodotto scalare di due vettori ne consegue che Se i vettori e sono specificati dalle coordinate e 
, allora la formula (1.6.3.1) verrà scritta come: 
Area di un parallelogramma costruito su vettori
I problemi di misurazione delle lunghezze dei segmenti, delle distanze tra punti, delle superfici e dei volumi dei corpi appartengono ad un'importante classe di problemi comunemente detti metrici. Nella sezione precedente abbiamo imparato come utilizzare l'algebra vettoriale per calcolare le lunghezze dei segmenti di linea e le distanze tra i punti. Ora troveremo i modi per calcolare aree e volumi. L'algebra vettoriale consente di porre e risolvere tali problemi solo per casi abbastanza semplici. Per calcolare le aree di superfici arbitrarie e i volumi di corpi arbitrari, sono necessari metodi di analisi. Ma i metodi di analisi, a loro volta, si basano in modo significativo sui risultati forniti dall'algebra vettoriale.
Per risolvere il problema abbiamo scelto un percorso piuttosto lungo e difficile, suggerito da Hilbert Strang, associato a numerose trasformazioni geometriche e minuziosi calcoli algebrici. Abbiamo scelto questa strada nonostante ci siano altri approcci che portano all'obiettivo più velocemente perché ci è sembrato diretto e naturale. Il percorso diretto nella scienza non è sempre il più semplice. Le persone esperte lo sanno e preferiscono i percorsi indiretti, ma se non provi ad andare dritto, potresti rimanere all’oscuro di alcune sottigliezze della teoria.
Sul percorso che abbiamo scelto compaiono naturalmente concetti come orientamento spaziale, determinante, vettore e prodotti misti. Il significato geometrico del determinante e delle sue proprietà è rivelato in modo particolarmente chiaro, come al microscopio. Tradizionalmente, il concetto di determinante viene introdotto nella teoria dei sistemi di equazioni lineari, ma è proprio per risolvere tali sistemi che il determinante è quasi inutile. Il significato geometrico del determinante è essenziale per l'algebra vettoriale e tensoriale.
Adesso portiamo pazienza e cominciamo con i casi più semplici e comprensibili.
1. I vettori sono orientati lungo gli assi delle coordinate del sistema di coordinate cartesiane.
Sia il vettore a diretto lungo l'asse x e il vettore b lungo l'asse y. Nella fig. La Figura 21 mostra quattro diverse opzioni per la posizione dei vettori rispetto agli assi delle coordinate.
Vettori aeb in forma di coordinate: dove aeb indicano la grandezza del vettore corrispondente e a è il segno della coordinata del vettore.
Poiché i vettori sono ortogonali, i parallelogrammi costruiti su di essi sono rettangoli. Le loro aree sono semplicemente il prodotto dei loro lati. Esprimiamo questi prodotti in termini di coordinate vettoriali per tutti e quattro i casi.
Tutte e quattro le formule per calcolare l'area sono le stesse tranne che per il segno. Potresti semplicemente chiudere gli occhi e scrivere, 
quello in tutti i casi. Tuttavia, un’altra possibilità si rivela più produttiva: dare un significato al segno. Osserviamo attentamente la Fig. 21. Nei casi in cui la rotazione da vettore a vettore viene effettuata in senso orario. Nei casi in cui siamo costretti a utilizzare il segno meno nella formula, la rotazione da vettore a vettore viene eseguita in senso antiorario. Questa osservazione ci permette di mettere in relazione il segno nelle espressioni dell'area con l'orientamento del piano.
L'area di un rettangolo costruito sui vettori aeb con segno più o meno sarà considerata un'area orientata e il segno sarà associato all'orientamento specificato dai vettori. Per un’area orientata possiamo scrivere un’unica formula per tutti e quattro i casi considerati: 
. Il segno della barra “vettoriale” sopra la lettera S è introdotto per distinguere l'area ordinaria, che è sempre positiva, da quella orientata.
Inoltre è ovvio che gli stessi vettori, presi in ordine diverso, determinano l'orientamento opposto, quindi, . Continueremo semplicemente a denotare l'area con la lettera S e, quindi, .
Ora che sembrerebbe che, a costo di ampliare il concetto di area, abbiamo ricevuto un'espressione generale, il lettore attento dirà che non abbiamo considerato tutte le possibilità. Infatti, oltre alle quattro opzioni per la localizzazione dei vettori presentate in Fig. 21, ce ne sono altri quattro (Fig. 22) 
Riscriviamo i vettori in forma di coordinate: Esprimiamo le aree attraverso le coordinate dei vettori. 
4. . I segni nelle nuove espressioni non sono cambiati, ma purtroppo è cambiato l'orientamento rispetto ai quattro casi precedenti. Pertanto per l’area orientata siamo costretti a scrivere: 
. Anche se la speranza di una semplicità ingegnosa non era giustificata, possiamo comunque scrivere un'espressione generale per tutti e quattro i casi.
Cioè, l'area orientata di un rettangolo costruito sui vettori, come sui lati, è uguale al determinante, composto dalle coordinate dei vettori, come sulle colonne.
Crediamo che il lettore abbia familiarità con la teoria dei determinanti, pertanto non ci soffermeremo su questo concetto in dettaglio. Tuttavia, diamo definizioni appropriate per cambiare l'enfasi e mostrare che questo concetto può essere ottenuto da considerazioni puramente geometriche. Quindi, ,. 
, , sono diverse forme di notazione per lo stesso concetto: un determinante, composto da coordinate vettoriali, come le colonne. Uguaglianza 
può essere presa come definizione del caso bidimensionale.
2. Il vettore b non è parallelo all'asse x; il vettore a/ è un vettore arbitrario. 
Per ridurre questo caso a quelli già noti, consideriamo alcune trasformazioni geometriche di un parallelogramma costruito su vettori e (Fig. prodotti misti di vettori e sue proprietà
PRODOTTO MISTO DI TRE VETTORI E SUE PROPRIETÀ
Lavoro misto tre vettori è chiamato un numero pari a . Designato 
. Qui i primi due vettori vengono moltiplicati vettorialmente e poi il vettore risultante viene moltiplicato scalarmente per il terzo vettore. Ovviamente, un prodotto del genere è un certo numero.
Consideriamo le proprietà di un prodotto misto.
- Significato geometrico lavoro misto. Il prodotto misto di 3 vettori, fino a un segno, è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori, come sugli spigoli, cioè .
Così e
.
Prova. Lasciamo da parte i vettori dall'origine comune e su di essi costruiamo un parallelepipedo. Indichiamo e notiamo che . Per definizione di prodotto scalare
Supponendo che e denotando con H trovare l'altezza del parallelepipedo.
Quindi, quando
Se, allora è così. Quindi, .
Combinando entrambi questi casi, otteniamo o .
Dalla dimostrazione di questa proprietà, in particolare, segue che se la terna di vettori è destrorsa, allora il prodotto misto è , e se è sinistrorso, allora .
- Per qualsiasi vettore , , l'uguaglianza è vera
La dimostrazione di questa proprietà segue dalla Proprietà 1. Infatti è facile dimostrare che e . Inoltre, i segni “+” e “–” vengono presi contemporaneamente, perché gli angoli tra i vettori e e e sono sia acuti che ottusi.
- Quando due fattori qualsiasi vengono riorganizzati, il prodotto misto cambia segno.
Infatti, se consideriamo un prodotto misto, allora, ad esempio, o
- Un prodotto misto se e solo se uno dei fattori è uguale a zero o i vettori sono complanari.
Prova.
Pertanto, condizione necessaria e sufficiente per la complanarità di 3 vettori è che il loro prodotto misto sia pari a zero. Inoltre, ne consegue che tre vettori formano una base nello spazio se .
Se i vettori sono dati in forma di coordinate, si può dimostrare che il loro prodotto misto si trova con la formula:
.Pertanto, il prodotto misto è uguale al determinante del terzo ordine, che ha le coordinate del primo vettore nella prima riga, le coordinate del secondo vettore nella seconda riga e le coordinate del terzo vettore nella terza riga.
Esempi.
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
L'equazione F(x, y, z)= 0 definisce nello spazio Oxyz una certa superficie, ad es. luogo geometrico dei punti le cui coordinate x, y, z soddisfare questa equazione. Questa equazione è chiamata equazione della superficie e x, y, z– coordinate attuali.
Tuttavia, spesso la superficie non è specificata da un'equazione, ma come un insieme di punti nello spazio che hanno l'una o l'altra proprietà. In questo caso è necessario trovare l'equazione della superficie in base alle sue proprietà geometriche.
AEREO.
VETTORE PIANO NORMALE.
EQUAZIONE DI UN PIANO CHE PASSA PER UN PUNTO DATO
Consideriamo un piano arbitrario σ nello spazio. La sua posizione è determinata specificando un vettore perpendicolare a questo piano e un punto fisso M0(x0, e 0, z0), giacente nel piano σ.
Il vettore perpendicolare al piano si chiama σ normale vettore di questo piano. Supponiamo che il vettore abbia coordinate.
Deriviamo l'equazione del piano σ passante per questo punto M0 e avente un vettore normale. Per fare ciò, prendi un punto arbitrario sul piano σ M(x, y, z) e consideriamo il vettore.
Per qualsiasi punto MО σ è un vettore Pertanto il loro prodotto scalare è uguale a zero. Questa uguaglianza è la condizione che costituisce il punto MОσ. È valido per tutti i punti di questo piano e viene violato non appena il punto M sarà fuori dal piano σ.
Se indichiamo i punti con il raggio vettore M, – raggio vettore del punto M0, allora l'equazione può essere scritta nella forma
Questa equazione si chiama vettore equazione piana. Scriviamolo in forma coordinata. Da allora
Quindi, abbiamo ottenuto l'equazione del piano che passa per questo punto. Pertanto, per creare un'equazione del piano, è necessario conoscere le coordinate del vettore normale e le coordinate di un punto che giace sul piano.
Si noti che l'equazione del piano è un'equazione di 1° grado rispetto alle coordinate attuali x, y E z.
Esempi.
EQUAZIONE GENERALE DEL PIANO
Si può dimostrare che qualsiasi equazione di primo grado rispetto alle coordinate cartesiane x, y, z rappresenta l'equazione di un piano. Questa equazione è scritta come:
Ascia+Per+Cz+D=0
e viene chiamato equazione generale piano e le coordinate A, B, C ecco le coordinate del vettore normale del piano.
Consideriamo casi particolari dell'equazione generale. Scopriamo come si trova il piano rispetto al sistema di coordinate se uno o più coefficienti dell'equazione diventano zero.
A è la lunghezza del segmento tagliato dal piano sull'asse Bue. Allo stesso modo, si può dimostrare che B E C– lunghezze dei segmenti tagliati dal piano in esame sugli assi Ehi E Oz.
È conveniente utilizzare l'equazione del piano in segmenti per costruire i piani.
7.1. Definizione di prodotto incrociato
Tre vettori non complanari a, b e c, presi nell'ordine indicato, formano una tripletta destrorsa se, dall'estremità del terzo vettore c, si vede il giro più breve dal primo vettore a al secondo vettore b essere in senso antiorario, e una terzina mancina se in senso orario (vedi Fig. 16).
Il prodotto vettoriale del vettore a e del vettore b è chiamato vettore c, che:
1. Perpendicolare ai vettori a e b, cioè c ^ a e c ^ B ;
2. Ha una lunghezza numericamente uguale all'area di un parallelogramma costruito sui vettori a eB come sui lati (vedi Fig. 17), cioè
3. I vettori a, b e c formano una terna destrorsa.
Il prodotto incrociato è indicato con a x b o [a,b]. Le seguenti relazioni tra i vettori unitari i seguono direttamente dalla definizione del prodotto vettoriale, J E K(vedi Fig. 18):
io x j = k, j x k = io, k x io = j.
Dimostriamolo, ad esempio io xj = k.
1) k ^ io, k ^ J ;
2) |k |=1, ma | io x j| = |i | |J | peccato(90°)=1;
3) vettori i, j e K formare una tripla destra (vedi Fig. 16).
7.2. Proprietà di un prodotto incrociato
1. Quando si riorganizzano i fattori, il prodotto vettoriale cambia segno, cioè e xb =(b xa) (vedi Fig. 19).
I vettori a xb e b xa sono collineari, hanno gli stessi moduli (l'area del parallelogramma rimane invariata), ma sono diretti in modo opposto (triple a, b, a xb e a, b, b x a di orientamento opposto). Questo è axb = -(b xa).
2. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di combinazione rispetto al fattore scalare, cioè l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
Sia l >0. Il vettore l (a xb) è perpendicolare ai vettori a e b. Vettore ( l ascia Bè anche perpendicolare ai vettori a e B(vettori a, l ma giacciono sullo stesso piano). Ciò significa che i vettori l(a xb) e ( l ascia B collineare. È ovvio che le loro direzioni coincidono. Hanno la stessa lunghezza:
Ecco perché l(axb)= l un xb. Si dimostra allo stesso modo per l<0.
3. Due vettori diversi da zero a e B sono collineari se e solo se il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore zero, cioè a ||b<=>e xb = 0.
In particolare, i *i =j *j =k *k =0 .
4. Il prodotto vettoriale ha la proprietà di distribuzione:
(a+b) xc = axc+ B xs.
Accetteremo senza prove.
7.3. Esprimere il prodotto vettoriale in termini di coordinate
Utilizzeremo la tabella dei prodotti incrociati dei vettori i, J e k:
se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, allora il prodotto è uguale al terzo vettore; se non coincide, il terzo vettore viene preso con il segno meno.
Siano dati due vettori a = a x i + a y J+az K e b = b x io+a J+bz K. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale):
La formula risultante può essere scritta ancora più brevemente:
poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde all'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della prima riga. L'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.
7.4. Alcune applicazioni del prodotto incrociato
Determinazione della collinearità dei vettori
Trovare l'area di un parallelogramma e di un triangolo
Secondo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori UN e B |axb | =|a | * |b |sin g, cioè S coppie = |a x b |. E quindi D S =1/2|a x b |.
Determinazione del momento di forza attorno ad un punto
Applichiamo una forza nel punto A F=AB lasciarlo andare DI- qualche punto nello spazio (vedi Fig. 20).
Questo è noto dalla fisica momento di forza F rispetto al punto DI chiamato vettore M, che passa per il punto DI E:
1) perpendicolare al piano passante per i punti O, A, B;
2) numericamente uguale al prodotto della forza per braccio
3) forma una terna destra con i vettori OA e A B.
Pertanto, M = OA x F.
Trovare la velocità di rotazione lineare
Velocità v punto M di un corpo rigido rotante con velocità angolare w attorno ad un asse fisso, è determinato dalla formula di Eulero v =w xr, dove r =OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).
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ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Francese: Wikipedia va bene per aumentare la sicurezza del suo sito. Stai utilizzando attualmente un vecchio navigatore web che non potrà più connettersi a Wikipedia quando ciò sarà fatto. Ti preghiamo di aggiornare il tuo dispositivo o di contattare il tuo amministratore informatico a questo riguardo. Le informazioni aggiuntive, le tecniche e l'inglese sono disponibili qui.
日本語: ????
Tedesco: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Hai utilizzato un altro browser Web che in Zukunft non può essere utilizzato più su Wikipedia. Bitte aktualisiere delin Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Rimani un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro utilizzando. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
magiaro: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia farà di più. Utilizzi un vecchio sito Web che non puoi consultare Wikipedia nel frattempo. Aggiorna la tua scheda o contatta l'amministratore IT. Ci sono un lungo periodo e ulteriori informazioni tecniche sul lungo periodo inglese.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Stiamo rimuovendo il supporto per le versioni non sicure del protocollo TLS, in particolare TLSv1.0 e TLSv1.1, su cui si basa il software del browser per connettersi ai nostri siti. Ciò è solitamente causato da browser obsoleti o smartphone Android meno recenti. Oppure potrebbe trattarsi di un'interferenza da parte del software "Web Security" aziendale o personale, che di fatto riduce la sicurezza della connessione.
È necessario aggiornare il browser Web o risolvere in altro modo questo problema per accedere ai nostri siti. Questo messaggio rimarrà fino al 1 gennaio 2020. Dopo tale data, il tuo browser non sarà in grado di stabilire una connessione ai nostri server.