Меняется во времени по синусоидальному закону:
где х — значение колеблющейся величины в момент времени t , А — амплитуда , ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ ) — полная фаза колебаний . При этом величины А , ω и φ — постоянные.
Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока .
Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).
Превращения энергии при гармонических колебаниях.
В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p в кинетическую W k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π ). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна:
где v m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m = А — амплитуда.
Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.
Выбор начальной фазы позволяет при описании гармонических колебаний перейти от функции синуса к функции косинуса:Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде:
Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:
где – масса колеблющегося тела.
Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний – уравнением гармонического осциллятора.
1.2. Сложение колебаний
Неpедки случаи, когда система одновpеменно участвует в двух или нескольких независимых дpуг от дpуга колебаниях. В этих случаях обpазуется сложное колебательное движение, котоpое создается путем наложения (сложения) колебаний дpуг на дpуга. Очевидно, случаи сложения колебаний могут быть весьма pазнообpазны. Они зависят не только от числа складываемых колебаний, но и от паpаметpов колебаний, от их частот, фаз, амплитуд, напpавлений. Не пpедставляется возможным обозpеть все возможное pазнообpазие случаев сложения колебаний, поэтому огpаничимся pассмотpением лишь отдельных пpимеpов.
Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой
Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:
где и – смещения; и – амплитуды; и – начальные фазы складываемых колебаний.
| Рис.2. |
Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 2), на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания .
Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось , то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.
Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания. В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма).
Следовательно,
отсюда: .
Согласно теореме косинусов ,
Начальная фаза результирующего колебания определяется из :
Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение: .
Биения
Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е.
Сложим эти уравнения аналитически:
Преобразуем
| Рис. 3. |
Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат , расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей и , соответственно, через и . (рис. 4).
Рассмотрим несколько частных случаев.
1). Начальные фазы колебаний одинаковы
Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей и можно выразить уравнениями:
Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:
или .
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат (рис.4).
| Рис. 4. |
Уравнения колебания в этом случае имеют вид:
Уравнение траектории точки:
Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащей в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна:
3). Начальная разность фаз равна .
Уравнения колебаний имеют вид:
Разделим первое уравнение на , второе – на :
Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки:
Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность . В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу.
Фигуры Лиссажу
Фигу́ры Лиссажу́ – замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний (рис. 5).
| Рис.5. |
В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз или вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.
Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний (рис. 6).
Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид
Электронным генератором гармонических колебаний называют устройство, преобразующее энергию источника постоянного тока в энергию электромагнитных колебаний синусоидальной формы требуемой частоты и мощности
Электронные генераторы гармонических колебаний классифицируют по ряду признаков, основными изкоторых являются частота и способ возбуждения. В зависимости от частоты генераторы подразделяют на
· низкочастотные (0,01-100 кГц),
· высокочастотные(0,1-100 МГц) и
· сверхвысокочастотные (свыше100 МГц).
По способу возбуждения различают генераторы
· с независимым внешним возбуждением
· с самовозбуждением. автогенераторы.
Генераторы с независимым внешним возбуждением являются, по существу, усилителями мощности с соответствующим частотным диапазоном, на вход которых подаются электрические сигналы от автогенераторов.
Любой автогенератор электрических колебаний представляет собой
усилитель с положительной обратной связью. (рис. 8.1). 
При ПОС часть выходного напряжения UОС через цепь ПОС поступает на вход усилителя в фазе с входным напряжением, обеспечивающим заданное значение Uвых. Чтобы амплитуда выходного напряжения не изменилась, должно быть выполнено условие Uос=Uвх. Так как Uвх=Uвых/Ku и Uос=βUвых, то из равенства Uос=Uвх следует βUвых=Uвых/Ku, или Kuβ=1. Это уравнение является условием существования в генераторе незатухающих электрических колебаний. Ему соответствуют два уравнения, которые явл.Условиями возникновения гармонич. колебаний
(1) Kuβ=1 (1), отражающее баланс амплитуд в автогенераторе, справедливо для установившегося, или стационарного, режима работы. Уравнение (1) требует от усилителя такого коэффициента усиления, при котором полностью компенсируются потери напряжения, поступающего через цепь ПОС.
При проектировании автогенератора должно быть выполнено условие Kuβ>1. В этом случае при подаче на автогенератор напряжения питания любые сколь угодно малые напряжения на входе будут вызывать возрастающие по амплитуде выходные напряжения. По мере увеличения Uвых вследствие нелинейности амплитудной характеристики усилителя его коэффициент усиления Ки будет уменьшаться, и стационарное состояние установится при В Kuβ=1
(2) φu+φβ=2 n, отражающее баланс фаз, в котором n=0, 1, 2, 3, ... определяет условие, при котором в замкнутой системе (усилитель + цепь ПОС) обеспечивается ПОС.
Цепи положительной обратной связи выполняют две функции: сдвиг сигнала по фазе для получения петлевого сдвига близкого к n*2π и фильтра, пропускающего нужную частоту. Функции сдвига фазы и фильтра могут быть распределены на две составные части генератора - на усилитель и на цепи положительной обратной связи или целиком возложены на цепи положительной обратной связи. В цепи положительной обратной связи могут стоять усилители.
Для получения синусоидального выходного напряжения необходимо, чтобы условия (1) и (2) выполнялись только для некоторой одной частоты. С этой целью цепь ПОС должна обладать избирательными свойствами. Такие свойства, как известно, имеют параллельный колебательный LC-контур (последовательный контур применяется очень редко) и RС-цепи.
Электронные генераторы гармонических колебаний нашли широкое применение в промышленной электронике. Эти функциональные устройства являются одной из составных частей измерительных приборов и автоматических систем.
Далеко не полный список устройств, в которых применяются генераторы сигналов:
· Устройства связи - радиоприемники, телевизионные приемники, мобильные телефоны,приёмопередатчики, аппаратура передачи данных и др.
· Измерительные приборы - осциллографы, измерительные вольтметры, амперметры и др.
· Медицинское оборудование - электрокардиографы, томографы, рентгенографы, электронные тонометры, аппараты для ультразвукового исследования (УЗИ), физиотерапевтические приборы и др.
· эхолоты.
· Бытовая техника - программируемые стиральные машины, СВЧ-печи, посудомоечные машины и др.
Интегральная микросхема
Твердотельная интегральная микросхема - это законченный функциональный электронный узел, элементы которого конструктивно не разделены и изготавливаются в едином технологическом процессе, в объеме и на поверхности полупроводникового кристалла.
Типичная ИС состоит из множества соединенных между собой микроэлектронных компонентов, таких, как транзисторы, резисторы, конденсаторы и диоды, изготовленные в поверхностном слое кристалла.
По конструктивно-технологическому исполнению микросхемы делятся наполупроводниковые и гибридно-пленочные. Полупроводниковые микросхемы имеют в своей основе монокристалл полупроводникового материала (обычно кремния), в поверхностном слое которого методами литографии и избирательного легирования создаются транзисторы, диоды, резисторы и (иногда) конденсаторы, а соединения между ними формируются по поверхности кристалла с помощьютонкоплёночной технологии. Полупроводниковые микросхемы могут бытьоднокристальными (монолитными) и многокристальными (микросборками). Однокристальная микросхема может иметь индивидуальный герметизированный корпус с внешними выводами для монтажа на коммутационной (печатной) плате, или быть бескорпусной и входить в состав микросборки.
Многокристальная микросхема (микросборка) представляет собой совокупность бескорпусных микросхем, смонтированных на общей коммутационной плате. В качестве компонентов в микросборке могут присутствовать бескорпусные согласующие резисторы и развязывающие конденсаторы. Вследствие высокой насыщенности связей коммутационная плата выполняется многоуровневой и, таким образом, является миниатюрным аналогом многослойной печатной платы. При изготовлении коммутационной платы может быть использована как тонкоплёночная, так и толстоплёночная технологии.
Гибридно-плёночные микросхемы включают в себя плёночные пассивные элементы (резисторы и конденсаторы), коммутационные проводники, нанесённые непосредственно на подложку из изоляционного материала, и бескорпусные полупроводниковые кристаллы (транзисторы, диоды, диодные матрицы, несложные микросхемы), монтируемые на той же подложке. Пассивные элементы и проводники могут быть выполнены по тонкоплёночной или толстоплёночной технологии.
В качестве активных элементов в полупроводниковых микросхемах используютсяуниполярные (полевые) транзисторы со структурой “металл – диэлектрик (оксид) – полупроводник” (МДП- или МОП-транзисторы) и биполярные транзисторы. В соответствии с этим все полупроводниковые микросхемы делятся на три основные вида: биполярные, униполярные (МДП или МОП) и биполярно-полевые.
Число элементов в интегральной микросхеме характеризует ее степень интеграции.
· малая интегральная схема (МИС) - до 100 элементов в кристалле,
· средняя интегральная схема (СИС) - до 1000 элементов в кристалле,
· большая интегральная схема (БИС) - до 10 тыс. элементов в кристалле,
· сверхбольшая интегральная схема (СБИС) - более 10 тыс. элементов в кристалле.
Интегральные микросхемы в зависимости от функционального предназначения делятся на - аналоговые и цифровые .
· Аналоговые интегральные микросхемы (АИМС) предназначены для преобразования и обработки сигналов, непрерывно изменяющихся по уровню и во времени. Они широко применяются в аппаратуре звуковоспроизведения и звукоусиления, радиоприемниках и телевизорах
· цифровые микросхемы предназначены для выполнения определенных логических действий над входными сигналами. Основу работы цифровых микросхем составляет двоичная система счисления. 0,1
Процесс создания полупроводниковой микросхемы сводится к формированию в приповерхностном слое полупроводниковой пластины элементов (транзисторов, диодов, резисторов) и к последующему их объединению в функциональную схему пленочными проводниками по поверхности пластины (межсоединения).
При изготовлении микросхем используется метод фотолитографии (проекционной, контактной и др.), при этом схему формируют на подложке (обычно из кремния), полученной путём резки алмазными дисками монокристаллов кремния на тонкие пластины. Ввиду малости линейных размеров элементов микросхем, от использования видимого света и даже ближнегоультрафиолета при засветке отказались.
В качестве характеристики технологического процесса производства микросхем указывают минимальные контролируемые размеры топологии фотоповторителя (контактные окна в оксиде кремния, ширина затворов в транзисторах и т. д.) и, как следствие, размеры транзисторов (и других элементов) на кристалле. Этот параметр, однако, находится во взаимозависимости с рядом других производственных возможностей: чистотой получаемого кремния, характеристиками инжекторов, методами фотолитографии, методами вытравливания и напыления.
Интегральные схемы обладают целым рядом преимуществ перед своими предшественниками – схемами, которые собирались из отдельных компонентов, ИС имеют меньшие размеры, более высокие быстродействие и надежность; они, кроме того, дешевле и в меньшей степени подвержены отказам, вызываемым воздействиями вибраций, влаги и старения.
Уравнение гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .
Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.
Если колебание описывать по закону косинуса
Если колебание описывать по закону синуса
Максимальные значения скорости и ускорения
Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле