Математическое ожидание e x. Математическое ожидание дискретной случайной величины

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

К числовым характеристикам с.в. относятся: математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков и т.д.

1. Математическое ожидание.

Пусть – дискретная с.в., принимающая значения
с вероятностями
соответственно.

Математическим ожиданием (м.о.) или средним значением с.в.
называется число

(1.1)

в предположении, что этот ряд сходится абсолютно.

Если же ряд
расходится, то говорят, что с.в.
не имеет конечного м.о.

Если

, то её м.о. определяется интегралом

(1.2)

при условии, что он сходится абсолютно.

Пусть
– дискретная с.в. с законом распределения (2.1) (Тема: Скалярные случайные величины), а
– функция этой с.в. Тогда закон распределения с.в.
имеет вид табл. 7.1 (Тема: Скалярные случайные величины). Согласно равенству (1.1), м.о. случайной величины
определяется формулой

.

Если же
– непрерывная с.в. с плотностью вероятности
, то, обобщая предыдущие рассуждения, получаем формулу для м.о. случайной величины
в виде

. (1.3)

Пример 1.1. В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в размере 50 руб., два – по 25 руб., десять – по 1 руб. Найти среднюю величину выигрыша, если куплен один билет.

D Согласно примеру 2.1 (Тема: Скалярные случайные величины), закон распределения с.в.
– выигрыша – имеет вид (2.2) (Тема: Скалярные случайные величины).

По формуле (1.1) средняя величина выигрыша

Итак, средний выигрыш в лотерее равен 55 коп. ▲

Пример 1.2. Плотность распределения вероятностей с.в.
имеет вид

Найти
.

D По формуле (1.3)
. ▲

Выясним основные свойства математического ожидания.

1 0 . М.о. числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

2 0 . М.о. постоянной неслучайной величины равно .

3 0 . Постоянный неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

4 0 . Для любых случайных величин (зависимых или независимых) м.о. суммы с.в.
и равно сумме м.о. этих величин:

5 0 . Для независимых случайных величин м.о. произведения с.в.
и равно произведению м.о. этих с.в., т.е.

Пример 1.3. Найти м.о. суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

D Пусть
и – число выпавших очков на первой и второй кости соответственно. Дискретные с.в.
и принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с одинаковой вероятностью
. Тогда по формулам (1.4) и (1.1) искомое м.о.

1. Дисперсия.

М.о. характеризует среднее значение с.в. Отклонением с.в.
от своего математического ожидания (среднего значения) называется с.в.
. Часто величина
называется центрированной с.в.

Дисперсией или рассеянием
случайной величины
называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
от её математического ожидания:

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим (квадратичным ) отклонением с.в.
и обозначается
, так что
.

Для дискретной с.в.
, принимающей значения с вероятностью ,
, дисперсия определяется равенством

, (2.2)

где
.

Для непрерывной с.в.
дисперсия определяется равенством

, (2.3)

если этот интеграл существует. Здесь
– плотность вероятности с.в.
.

Из свойств м.о. и определения дисперсии имеем

Итак, для дискретной с.в.

. (2.4)

Для непрерывной с.в.
равенство (2.4) имеет вид

. (2.5)

Формулы (2.4) и (2.5) более удобны для вычисления дисперсии.

Замечание . Из определения дисперсии (2.1) с.в.
следует, что
. Если дисперсия мала, то каждый член суммы (2.2) тоже мал. Следовательно, значение , при котором
велико, должно иметь малую вероятность. Другими словами, при малой дисперсии большие отклонения с.в.
от её м.о. маловероятны. Равенство
означает, что
для тех значений , вероятность которых равна нулю. Иначе говоря,
означает, что
с вероятностью, равной единице.

Пример 2.1. Найти дисперсию с.в.
, заданной законом распределения вероятностей

D Находим м.о.: . Так как закон распределения с.в.
имеет вид

то , и по формуле (2.4)

. ▲

Пример 2.2. Найти дисперсию с.в.
, функция распределения которой

D Находим плотность вероятности

По формуле (2.5) искомая дисперсия

. ▲

Установим свойства дисперсии.

1 0 . Дисперсия постоянной неслучайной величины равна нулю.

Действительно, .

2 0 . Постоянный неслучайный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.

В самом деле,

3 0 . Дисперсия суммы или разности независимых с.в.
и равна сумме дисперсий этих величин: .

D Так как
и независимые с.в., то и, следовательно,

.

Итак, . Отсюда и из свойства 2 0 дисперсии получим

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Математическое ожидание и дисперсия - bezbotvy

✪ Теория вероятностей 15: Математическое ожидание

✪ Математическое ожидание

✪ Математическое ожидание и дисперсия. Теория

✪ Математическое ожидание в трейдинге

Субтитры

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} и определённая на нём случайная величина X {\displaystyle X} . То есть, по определению, X: Ω → R {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } - измеримая функция . Если существует интеграл Лебега от X {\displaystyle X} по пространству Ω {\displaystyle \Omega } , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M [ X ] {\displaystyle M[X]} или E [ X ] {\displaystyle \mathbb {E} [X]} .

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . {\displaystyle M[X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega)\,\mathbb {P} (d\omega).}

Основные формулы для математического ожидания

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R {\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x);x\in \mathbb {R} } .

Математическое ожидание дискретного распределения

P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1} ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i {\displaystyle M[X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}} .

Математическое ожидание целочисленной величины

P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j},\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1}

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности { p i } {\displaystyle \{p_{i}\}}

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k {\displaystyle P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}}

как значение первой производной в единице: M [ X ] = P ′ (1) {\displaystyle M[X]=P"(1)} . Если математическое ожидание X {\displaystyle X} бесконечно, то lim s → 1 P ′ (s) = ∞ {\displaystyle \lim _{s\to 1}P"(s)=\infty } и мы будем писать P ′ (1) = M [ X ] = ∞ {\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty }

Теперь возьмём производящую функцию Q (s) {\displaystyle Q(s)} последовательности «хвостов» распределения { q k } {\displaystyle \{q_{k}\}}

q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . {\displaystyle q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.}

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P (s) {\displaystyle P(s)} свойством: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s {\displaystyle Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}} при | s | < 1 {\displaystyle |s|<1} . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) {\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1)}

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x {\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx} .

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n {\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{\top }\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} - случайный вектор. Тогда по определению

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ {\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^{\top }} ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть g: R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } - борелевская функция , такая что случайная величина Y = g (X) {\displaystyle Y=g(X)} имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i {\displaystyle M\left=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i}} ,

если X {\displaystyle X} имеет дискретное распределение;

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x {\displaystyle M\left=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx} ,

если X {\displaystyle X} имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} случайной величины X {\displaystyle X} общего вида, то

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) {\displaystyle M\left=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)} .

В специальном случае, когда g (X) = X k {\displaystyle g(X)=X^{k}} , Математическое ожидание M [ g (X) ] = M [ X k ] {\displaystyle M\left=M} называется k {\displaystyle k} -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

• Математическое ожидание числа есть само число.

M [ a ] = a {\displaystyle M[a]=a} a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } - константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] {\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]} , где X , Y {\displaystyle X,Y} - случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } - произвольные константы; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] {\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]} ; M [ X ] = M [ Y ] {\displaystyle M[X]=M[Y]} . M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] {\displaystyle M=M[X]M[Y]} .

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема. Математическое ожидание М(х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению этих испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(x) = np.

Пусть Х - случайная величина и М(Х) – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х - М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Отклонение имеет следующий закон распределения:

Решение: Найдем математическое ожидание:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

Решение: Найдем математическое ожидание М(х): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

Напишем закон распределения случайной величины X 2

X 2
P	0.1	0.6	0.3

Найдем математическое ожидание M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Искомая дисперсия D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании D(X)=npq

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = √D(X) (4)

Пример. Случайная величина Х задана законом распределения

X
P	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратичное отклонение σ(x)

Решение: Найдем математическое ожидание Х: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
Найдем математическое ожидание X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Найдем дисперсию: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Искомое среднее квадратичное отклонение σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин:

Пример. На полке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по физике. Выбирают наудачу три книги. Найти закон распределения числа книг по математике среди выбранных книг. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Вероятности
и
определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р , а вероятность ненаступления этого события равна
. Тогда вероятность того, что событие А в п испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли

,

где
– число сочетаний из п элементов по . Тогда

Искомая вероятность

Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность
по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

,

где
и
.

Из условия задачи . Тогда

.

Из таблицы 1 приложений находим . Искомая вероятность равна

Задача 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности
приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения
. Поэтому при малых значениях р для вычисления
применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где .

Эта формула используется при
, причем чем меньше р и больше п , тем результат точнее.

По условию задачи
;
. Тогда

Задача 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р , то вероятность
того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

,
.

Функция
называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для
. При
функция
. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа
. Используя функцию Лапласа, имеем:

По условию задачи . По приведенным выше формулам находим
и :

Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х :

2. Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

2. Где в первой строке даны значения случайной величины х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание вычисляется по формуле

2) Дисперсия
дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от
. Из последней формулы имеем

Дисперсию
можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия
равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания
, то есть

Для вычисления
составим следующий закон распределения величины
:

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х , равное квадратному корню из дисперсии
, то есть

.

Из этой формулы имеем:

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения
; 2) математическое ожидание
; 3) дисперсию
.

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения
, то есть

.

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией
, то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как функция
при
и при
равна нулю, то из последней формулы имеем

.

3) Дисперсию
определим по формуле

Задача 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.

Решение. 1) Пусть Х – длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией
, то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку
, определяется по формуле

.

Вероятность выполнения строгих неравенств
определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

, (1)

где
– функция Лапласа,
.

В задаче . Тогда

2) По условию задачи , где
. Подставив в (1) , имеем

. (2)

Из формулы (2) имеем.