«ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК КВАЗИОДНОРОДНОГО МАТЕРИАЛА ПО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ А. А. Шваб Институт гидродинамики им. ...»
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 2 (27). С. 65–71
УДК 539.58:539.215
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК КВАЗИОДНОРОДНОГО
МАТЕРИАЛА ПО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
А. А. Шваб
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
630090, Россия, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 15 .
E-mail: [email protected] Изучается возможность оценки механических характеристик материала на основе решения неклассических упругопластических задач для плоскости с отверстием. Предложенный экспериментально-аналитический метод определения характеристик материала основан на анализе перемещений контура кругового отверстия и размеров зон неупругих деформаций около него. Показано, что в зависимости от задания экспериментальных данных могут быть решены три задачи для оценки механических характеристик материала. Одна из таких задач рассмотрена применительно к механике горных пород. Проведён анализ решения этой задачи и приведены рамки его применимости. Показано, что подобный анализ может быть использован для определения характеристик как однородного, так и квазиоднородного материала.
Ключевые слова: экспериментально-аналитический метод, характеристики материала, упругопластическая задача, плоскость с круговым отверстием, механика горных пород.
В работе изучается возможность оценки механических характеристик материала на основе решения неклассических упругопластических задач по натурным замерам на действующих объектах. Подобная постановка задачи подразумевает разработку экспериментально-аналитических методов для определения каких-либо механических характеристик и их величин для объектов или их моделей по некоторой экспериментальной информации. Возникновение такого подхода было связано с отсутствием необходимой достоверной информации для корректной постановки задачи механики деформированного твёрдого тела. Так, в механике горных пород при расчётах напряжённо-деформированного состояния около горных выработок или в подземных сооружениях зачастую отсутствуют данные о поведении материала при сложном напряжённом состоянии. Причина последнего, в частности, может касаться неоднородности изучаемых геоматериалов, т. е. материалов, содержащих трещины, включения и полости. Сложность исследования таких материалов классическими методами заключается в том, что размеры неоднородностей могут быть соизмеримы с размерами образцов. Поэтому экспериментальные данные имеют большой разброс и зависят от характера неоднородностей конкретного образца. Аналогичная проблема, а именно большой разброс, возникает, например, при определении механических характеристик крупнозернистого бетона. Это связано с отсутствием закономерности распределения составляющих элементов бетона, с одной стороны, и с размерами стандартного Альберт Александрович Шваб (д.ф.-м.н., доцент), ведущий н
– – –
образца (куб 150 150 мм) с другой. Если же увеличить линейную базу измерений на два и более порядка по сравнению с размерами неоднородностей, то для описания поведения материала при деформировании можно использовать модель квазиоднородной среды . Для определения её параметров необходимо или, как уже было отмечено, увеличить линейные размеры образца на два и более порядка по сравнению с размером неоднородностей, или сформулировать задачу о прочности всего объекта и провести соответствующие натурные измерения с целью определения механических характеристик квазиоднородного материала. Именно при решении таких задач и имеет смысл использовать экспериментально-аналитические методы.
В настоящей работе оцениваются характеристики материала на основе решения обратных упругопластических задач для плоскости с круговым отверстием по замерам перемещений на контуре отверстия и определению размеров зоны пластичности около него. Отметим, что на базе расчётных данных и экспериментальных замеров можно провести анализ, позволяющий оценить соответствие различных условий пластичности реальному поведению материала.
В рамках теории пластичности такая задача, когда на части поверхности заданы одновременно векторы нагрузки и перемещения, а на другой её части условия не определенны, формулируется как неклассическая. Решение такой обратной задачи для плоскости с круговым отверстием, когда известны перемещения контура и нагрузки на нём, позволяет найти поле напряжений и деформаций в пластической области и, кроме того, восстановить упругопластическую границу. Зная на упругопластической границе перемещения и нагрузки, можно сформулировать подобную задачу для упругой области, что позволяет восстановить поле напряжений вне отверстия. Для определения упругопластических характеристик материала необходима дополнительная информация. В данном случае используются размеры зон неупругих деформаций около отверстия.
В настоящей работе для описании поведения материала применяется модель идеальной пластичности : при достижении напряжениями критического значения соотношения между напряжениями и деформациями носят неупругий характер.
Сформулируем граничные условия на контуре отверстия (r = 1):
– – –
где u, v тангенциальная и касательная компоненты вектора перемещения.
Здесь и в дальнейшем значения r, u и v относятся к радиусу отверстия. При условии пластичности Треска распределение напряжений в пластической области описывается соотношениями
– – –
В этом случае можно определить размер r области неупругих деформаций и значения величины.
Задача 2. На контуре кругового отверстия (r = 1) известны условия (12) и величина r .
В этом случае из соотношений (10), (11) можно оценить одну из постоянных материала.
Задача 3. Пусть к известным данным задачи 2 дополнительно задана величина.
В этом случае могут быть уточнены характеристики материала.
На базе приведённого экспериментально-аналитического метода была рассмотрена задача 2. С этой целью было проведено сопоставление расчётных и экспериментальных данных. За основу были взяты смещение (конвергенция) контура выработки, отпор крепи и размеры r зон неупругих деформаций вокруг выработок в Кузнецком угольном бассейне на пластах Мощный, Горелый и IV Внутренний .
По существу, конвергенция контура выработки соответствует величине u0, а отпор крепи величине P. При сравнительном анализе ставилось целью не обсуждение количественного совпадения расчёта с экспериментальными данными, а их качественное соответствие с учётом возможного разброса натурных замеров. Надо отметить, что данные о перемещениях на контуре выработки и размеры соответствующих им зон неупругих деформаций имеют определённый разброс. Кроме этого, механические характеристики массива, определённые из экспериментов на образцах, также имеют разброс. Так, для пласта Мощный величина E изменяется от 1100 до 3100 МПа, величина s от 10 до 20 МПа, величина полагалась Экспериментально-аналитический метод определения характеристик.. .
равной 0,3. Поэтому все расчёты проводились при различных значениях экспериментальных данных.
Для пласта Мощный в таблице приведены соответствующие результаты расчёта для условия пластичности Треска при 25 G/s 80. Из данных таблицы следует, что при 50 G/s 60 наблюдается удовлетворительное совпадение расчётных r и экспериментальных rэксп значений в достаточно широком диапазоне изменения величины u0, а при G/s = 80 расчётные значения r явно завышены. Следовательно, при использовании условии Треска при значении s = 10 МПа модуль упругости E целесообразно выбирать в пределах от 1300 до 1600 МПа.
– – –
На рисунке площадь всего квадрата соответствует возможным значениям s и G, найденным из экспериментов на образцах. В результате анализа получено, что реальному поведению массива соответствуют только значения s и G, находящиеся в заштрихованной области (приблизительно 26 % от всей площади) .
Поскольку величина u0 принимала значения от 0,01 до 0,1, т. е. была достаточно большой, естественно возникает вопрос о правомерности использования предлагаемых соотношений, полученных по теории малых деформаций. Для этого были проведены расчёты с учётом изменения геометрии контура в предположении, что скорость смещения точек контура мала. Полученные результаты практически не отличаются от приведённых выше.
Из таблицы видно, что разброс значений G/s существенно влияет на вычисление величины. Поэтому количественная оценка величины возможна, с одной стороны, при правильном выборе условия пластичности, а с другой при более точном определении величин E и s. Если из-за недостатка экспериментальных данных подобный анализ невозможен, то по данным о конвергенции контура выработки можно оценить лишь характер изменения величины. В самом деле, возрастание величины u0 от 0,033 до 0,1 вызвано увеличением напряжений в массиве пласта в 1,53–1,74 раза, т. е.
коэффициент роста величины можно определить с точностью до 26% .
Преимущество такого подхода к оценке величины заключается в его принадлежности к макродеформационным методам оценки напряжений.
Ш в а б А. А.
С одной стороны, как отмечается в , такие факторы, как неравномерный отпор крепи, отличие формы выработки от круговой слабо влияют на форму зоны неупругих деформаций. С другой стороны, анизотропия пород может существенно влиять как на характер разрушения, так и на образование неупругой зоны. Очевидно, что для общего случая анизотропии проведённый анализ является неприемлемым, но его можно использовать при описании поведения трансверсально изотропных пород с плоскостью изотропии, перпендикулярной оси Oz .
Резюмируя вышеизложенное, можно отметить следующее:
1) при условии пластичности Треска с учётом разброса экспериментальных значений модуля сдвига G и предела текучести s предложенный экспериментально-аналитический метод позволяет удовлетворительно описать эксперимент при 50 G/s 60;
2) рассмотренный метод позволяет оценивать коэффициент роста напряжений в среде с погрешностью до 26 %;
3) рассмотренный метод, основанный на решении неклассических задач механики, позволяет оценивать упругопластические характеристики материала как для однородной, так и для квазиоднородной среды;
4) применительно к механике горных пород рассмотренный метод является макродеформационным методом.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Турчанинов И. А., Марков Г. А., Иванов В. И., Козырев А. А. Тектонические напряжения в земной коре и устойчивость горных выработок. Л.: Наука, 1978. 256 с.
2. Шемякин Е. И. О закономерности неупругого деформирования пород в окрестности подготовительной выработки / В сб.: Горное давление в капитальных и подготовительных выработках. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1975. С. 3–17.].
5. Литвинский Г. Г. Закономерности влияния неосесимметричных факторов на формирование зоны неупругих деформаций в горных выработках / В сб.: Крепление, поддержание и охрана горных выработок. Новосибирск: СО АН СССР, 1979. С. 22–27 .
Поступила в редакцию 23/V/2011;
в окончательном варианте 10/IV/2012 .
Experimental analytical method determine the characteristics.. .
MSC: 74L10; 74C05, 74G75
EXPERIMENTAL ANALYTICAL METHOD FOR
QUASI-HOMOGENEOUS MATERIAL CHARACTERISTICS
DETERMINATION BASED ON ELASTO-PLASTIC ANALYSIS
OF EXPERIMENTAL DATA
A. A. Shvab M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS, 15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russia .E-mail: [email protected] The possibility of material mechanical characteristics estimation based on solving of the elasto-plastic problems for plane with a hole is studied. The proposed experimentalanalytical method for the material characteristics determination depends on the analysis of circular hole contour displacement and the sizes of inelastic strains zones near it .
It is shown, that three problems can be solved for the material mechanical characteristics estimation according to the assignment of experimental data. One of such problems is considered relating to the rock mechanics. The analysis of this problem solution is made and the scope of its applicability is noted. The validity of similar analysis using for the characteristics determination both of homogeneous and quasihomogeneous material is presented .
Key words: experimental analytical method, characteristics of material, elasto-plastic problem, plane with a circular hole, rock mechanics .
– – –
Albert A. Schwab (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Research Scientist, Dept. of Solid
Похожие работы:
«Средневолжский Машиностроительный Завод Вакуумный роторно-лопастной компрессор КИТ Аэро РЛ ПАСПОРТ (Руководство по эксплуатации) ВНИМАНИЕ! Перед установкой и подключением роторно-лопастного компрессора внимательно ознакомьтесь с с...»РИЗВАНОВ Константин Анварович ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРОЦЕССОВ ИСПЫТАНИЙ ГТД НА ОСНОВЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ МОДЕЛИ Специальность 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в промышленности) АВТОРЕФЕРАТ ди...»
«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 32824СТАНДАРТ Дороги автомобильные общего пользования ПЕСОК ПРИРОДНЫЙ Технические требования И...»
«" -› "– ". "": “¤ " -"”‹““¤ УДК 314.17 JEL Q58, Q52, I15 Ю. А. Маренко 1, В. Г. Ларионов 2 Санкт-Петербургская лесотехническая академия им. С. М. Кирова Институтский пер., 5, Санкт-Петербург, 194021, Россия Московский государственный технический университет им. Н. Баумана 2-я Бауманская ул., 5, стр. 1, Москва, 105005,...»
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.
Аналитический метод вывода математической модели идентичной (совпадающей) по характеристикам с исследуемым объектом применим тогда, когда физико-химические процессы, происходящие в объекте, хорошо изучены. К таким объектам относятся механические системы, поведение которых в статике и динамике подчиняется законам Ньютона, некоторые химические реакторы с простыми химическими реакциями, протекающими в них. Примером такого объекта может служить бак, изображенный на рис. 1.
Рис. 1. Схема исследования объекта управления аналитическим методом.
Статический режим: ;
Динамический режим:
Из гидравлики: или для малых.
или, переходя к бесконечно малым приращениям:
Обозначив в относительной размерности:
Электрический двигатель с нагрузкой описывается дифференциальным уравнением:
J - момент инерции,
M двиг. , M сопр - момент на валу и момент сопротивления.
Частота вращения вала двигателя.
Экспериментально-аналитический метод идентификации
Суть метода заключается в следующем: на действующем объекте по входному каналу подается одно из трех типовых возмущающих воздействий:
а) типа «единичного скачка»
б) типа «единичного импульса»
в) в виде синусоидальных колебаний различной частоты
Чаще всего используется возмущение типа «единичного скачка». Реакция объекта на такое возмущение - график изменения во времени выходного сигнала объекта называется экспериментальной кривой разгона .
Если рассматривать объект как «черный ящик», т.е. считать, что нам ничего не известно о физико-химических процессах, происходящих в нем, то оказывается, что различные по природе технологического процесса, объему и конфигурации объекты управления в динамическом режиме работы математически описываются (имеют математическую модель) в виде одного и того же типового уравнения взаимосвязи выходного сигнала объекта с входным. В ТАУ были подобраны всего 6 типов уравнений взаимосвязи выходного сигнала объекта с входным сигналом, которые назвали типовыми динамическими звеньями . Поскольку в динамическом режиме работы объекта, когда нарушено равновесие между притоком и стоком энергии или вещества в объекте, входной и/или выходной сигналы изменяются во времени, то большинство типовых уравнений взаимосвязи типовых динамических звеньев (ТДЗ) являются дифференциальным, т.е.
(алгебра), а (диф. уравнение).
Методика использования математического аппарата ТАУ - совокупности ТДЗ - заключается в следующем: каждое типовое динамическое звено, кроме типового уравнения взаимосвязи входного и выходного сигналов, имеет свою типовую кривую разгона и ряд других типовых характеристик. Полученную на действующем объекте экспериментальную кривую разгона сравнивают с набором шести типовых кривых разгона ТДЗ и по совпадению характера изменения во времени экспериментальной и какой-либо типовой кривой разгона проводят замену (аппроксимацию) исследуемого объекта данным типовым динамическим звеном. Тогда типовое уравнение взаимосвязи этого ТДЗ становится уравнением взаимосвязи выходного сигнала объекта с входным или искомой математической моделью объекта. Величину коэффициентов, входящих в данное типовое уравнение ТДЗ находят по экспериментальной кривой разгона объекта.
Рис. 6. Экспериментальная кривая разгона статического объекта.
Эта кривая называется экспонентой и по характеру изменения во времени совпадает с типовой кривой разгона апериодического (инерционного, статического) ТДЗ. Значит, такой объект можно заменить (аппроксимировать) апериодическим ТДЗ. Его типовое дифференциальное уравнение:
Оба коэффициента: K и T 0 - легко найти из графика экспериментальной кривой разгона.
Пусть на объекте получена следующая экспериментальная кривая разгона.
Рис. 7. Экспериментальная кривая разгона астатического объекта.
Эта экспериментальная кривая разгона похожа на типовую кривую разгона астатического (интегрирующего) ТДЗ с дифференциальным уравнением:
Коэффициент Т легко определить по экспериментальной кривой разгона по углу:
Аналогично легко провести идентификацию динамического объекта по совпадению экспериментальной и типовой кривых разгона для замены (аппроксимации) объекта усилительным, реальным дифференцирующим и запаздывающим ТДЗ. Типовые кривые разгона этих звеньев такие:
Рис. 8. Кривые разгона усилительного, реального дифференцирующего и запаздывающего ТДЗ.
А передаточные функции такие:
Величину коэффициентов в этих типовых передаточных функциях также легко найти по графикам экспериментальных кривых разгона (см. рис. 1.8.).
Сложнее найти математическую модель идентифицируемого объекта, если получена следующая экспериментальная кривая разгона:
Рис. 9. Экспериментальная кривая разгона апериодического звена второго порядка.
На первый взгляд, такая экспериментальная кривая разгона похожа на типовую кривую разгона апериодического звена 2-го порядка с передаточной функцией:
однако точное определение коэффициентов Т 1 и Т 2 в этой W(p) затруднено.
Для более точной идентификации такого объекта используют метод Симою, или «метод площадей».
Физические процессы можно исследовать аналитическими или экспериментальными методами.
Аналитические методы позволяют изучать процессы на основе математических моделей, которые могут быть представлены в виде функций, уравнений, систем уравнений, в основном дифференциальных или интегральных. Обычно в начале создают грубую модель, которую затем, после ее исследования, уточняют. Такая модель позволяет достаточно полно изучать физическую сущность явления.
Однако им свойственны существенные недостатки. Для того чтобы из всего класса найти частное решение, присущее лишь данному процессу, необходимо задать условия однозначности. Часто неправильное принятие краевых условий приводит к искажению физической сущности явления, а отыскать аналитическое выражение, наиболее реально отображающие это явление, или вообще невозможно или чрезвычайно затруднительно.
Экспериментальные методы позволяют глубоко изучить процессы в пределах точности техники эксперимента, особенно те параметры, которые представляют наибольший интерес. Однако результаты конкретного эксперимента не могут быть распространены на другой процесс, даже весьма близкий по своей сути. Кроме того, из опыта трудно установить, какие из параметров оказывают решающее влияние на ход процесса, и как будет протекать процесс, если меняются одновременно различные параметры. Экспериментальные методы позволяют установить лишь частные зависимости между отдельными переменными в строго определенных интервалах. Использование этих зависимостей за пределами этих интервалов может привести к грубым ошибкам.
Таким образом, и аналитические, и экспериментальные методы имеют свои преимущества и недостатки. Поэтому чрезвычайно плодотворным являются сочетание положительных сторон этих методов исследований. На этом принципе основаны методы сочетания аналитических и экспериментальных исследований, которые, в свою очередь, основываются на методах аналогии, подобия и размерностей.
Метод аналогии. Метод аналогии применяют, когда разные физические явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим суть метода аналогии на примере. Тепловой поток зависит от температурного перепада (закон Фурье):
где λ – коэффициент теплопроводности.
Массперенос или перенос вещества (газа, пара, влаги, пыли) определяется перепадом концентрации вещества С (закон Фика):
– коэффициент масспереноса.
Перенос электричества по проводнику с погонным сопротивлением обусловливается перепадом напряжения (закон Ома):
где ρ – коэффициент электропроводности.
Три различных физических явления имеют идентичные математические выражения. Таким образом, их можно исследовать методом аналогии. При этом в зависимости от того, что принимается за оригинал и модель, могут быть различные виды моделирования. Так, если тепловой поток q т изучают на модели с движением жидкости, то моделирование называют гидравлическим; если его исследуют на электрической модели, моделирование называют электрическим.
Идентичность математических выражений не означает, что процессы абсолютно аналогичны. Чтобы на модели изучать процесс оригинала, необходимо соблюдать критерии аналогии. На прямую сравнивать q т и q э, коэффициенты теплопроводности λ и электропроводности ρ , температуру Т и напряжения U нет смысла. Для устранения этой несопоставимости оба уравнения необходимо представить в безразмерных величинах. Каждую переменную П следует представить в виде произведения постоянной размерности П п на переменную безразмерную П б:
П = П п ∙П б. (4.25)
Имея в виду (4.25), запишем выражения для q т и q э в следующем виде:
Подставим в уравнения (4.22) и (4.24) значения преобразованных переменных, в результате чего получим:
; 
Оба уравнения написаны в безразмерном виде и их можно сравнивать. Уравнения будут идентичны, если
Это равенство называют критерием аналогии. С помощью критериев устанавливают параметры модели по исходному уравнению объекта.
В настоящее время широко применяется электрическое моделирование. С его помощью можно изучить различные физические процессы (колебания, фильтрацию, массперенос, теплопередачу, распределение напряжений). Это моделирование универсально, простое в эксплуатации, не требует громоздкого оборудования. При электрическом моделировании применяют аналоговые вычислительные машины (АВМ). Под которыми, как мы уже говорили, понимают определенное сочетание различных электрических элементов, в которых протекают процессы, описываемые математическими зависимостями, аналогичными с зависимостями для изучаемого объекта (оригинала). Существенным недостатком АВМ является сравнительно небольшая точность и не универсальность, так как для каждой задачи необходимо иметь свою схему, а значить и другую машину.
Для решения задач используют и другие методы электрического моделирования: метод сплошных сред, электрических сеток, электромеханическая аналогия, электрогидродинамическая аналогия и др. Плоские задачи моделируют с использованием электропроводной бумаги, объемные – электролитических ванн.
Метод размерностей. В ряде случаев встречаются процессы, которые не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями. Зависимость между переменными величинами в таких случаях можно установить экспериментально. Для того чтобы ограничить эксперимент и отыскать связь между основными характеристиками процесса, эффективно применять метод анализа размерностей.
Анализ размерностей является методом установления зависимости между физическими параметрами изучаемого явления. Основан он на изучении размерностей этих величин.
Измерение физической характеристики Q означает ее сравнение с другим параметром q той же самой природы, то есть нужно определить во сколько раз Q больше чем q. В этом случае q является единицей измерения.
Единицы измерения составляют систему единиц, например, Международную систему СИ. Система включает единицы измерения, которые независимы одна от другой, их называют основными или первичными единицами. В системе СИ таковыми являются: масса (килограмм), длина (метр), время (секунда), сила тока (ампер), температура (градус Кельвина), сила света (кандела).
Единицы измерений других величин называются производными или вторичными. Они выражаются с помощью основных единиц. Формула, которая устанавливает соотношение между основными и производными единицами называется размерностью. Например, размерность скорости V является
где L – условное обозначение длины, а Т – времени.
Эти символы представляют собой независимые единицы системы единиц измерения (Т измеряется в секундах, минутах, часах и т.д., L в метрах, сантиметрах, и т.д.). Размерность выводится с помощью уравнения, которое в случае скорости имеет следующий вид:
откуда вытекает формула размерности для скорости. Анализ размерностей базируется на следующем правиле: размерность физической величины является произведением основных единиц измерения, возведенных в соответствующую степень.
В механике используют, как правило, три основные единицы измерения: массу, длину и время. Таким образом, в соответствии с вышеприведенным правилом, можно записать:
(4.28)
где N – обозначение производной единицы измерения;
L , M , T – обозначения основных (длина, масса, время) единиц;
l , m , t – неизвестные показатели, которые могут быть представлены целыми или дробными числами, положительными или отрицательными.
Существуют величины, размерность которых состоит из основных единиц в степени, равной нулю. Это так называемые безразмерные величины. Например, коэффициент разрыхления породы представляет собой отношение двух объемов, откуда
следовательно, коэффициент разрыхления есть безразмерная величина.
Если в ходе эксперимента установлено, что определяемая величина может зависеть от нескольких других величин, то в этом случае возможно составить уравнение размерностей, в котором символ изучаемой величины располагается в левой части, а произведение других величин – в правой. Символы в правой части имеют свои неизвестные показатели степени. Чтобы получить окончательно соотношение между физическими величинами, необходимо определить соответствующие показатели степени.
Например, необходимо определить время t , затраченное телом, имеющим массу m , при прямолинейном движении на пути l под действием постоянной силы f . Следовательно, время зависит от длины, массы и силы. В этом случае уравнение размерностей запишется следующим образом:
Левая часть уравнения может быть представлена в виде . Если физические величины изучаемого явления выбраны правильно, то размерности в левой и правой частях уравнения должны быть равны. Тогда система уравнений показателей степени запишется:
тогда x =y =1/2 и z = –1/2.
Это значит, что время зависит от пути как , от массы как и от силы как . Однако получить окончательное решение поставленной задачи с помощью анализа размерностей невозможно. Можно установить лишь общую форму зависимости:
где k – безразмерный коэффициент пропорциональности, который определяют путем эксперимента.
Таким способом находят вид формулы и условия эксперимента. Необходимо определить лишь зависимость между двумя величинам: и А , где А = .
Если размерности левой и правой частей уравнения равны, это значит, что рассматриваемая формула аналитическая и расчеты могут выполняться в любой системе единиц. Напротив, если используется эмпирическая формула, необходимо знать размерности всех членов этой формулы.
Используя анализ размерностей, можно ответить на вопрос: не потеряли ли мы основные параметры, влияющие на данный процесс? Иначе говоря, найденное уравнение является полным или нет?
Предположим, что в предыдущем примере тело при движении нагревается и поэтому время зависит также от температуры С .
Тогда уравнение размерностей запишется:
Откуда легко найти, что , т.е. изучаемый процесс не зависит от температуры и уравнение (4.29) является полным. Наше предположение не верно.
Таким образом, анализ размерностей позволяет:
– найти безразмерные соотношения (критерии подобия), чтобы облегчить экспериментальные исследования;
– выбрать влияющие на изучаемое явление параметры, чтобы найти аналитическое решение задачи;
– проверить правильность аналитических формул.
Метод анализа размерностей очень часто применяется в исследованиях и в более сложных случаях, чем рассмотренный пример. Он позволяет получить функциональные зависимости в критериальном виде. Пусть известна в общем виде функция F для какого-либо сложного процесса
(4.30)
Значения имеют определенную размерность единиц измерения. Метод размерностей предусматривает выбор из числа k трех основных независимых друг от друга единиц измерения. Остальные (k –3) величины, входящие в функциональную зависимость (4.30), выбирают так, чтобы они были представлены в функции F как безразмерные, т.е. в критериях подобия. Преобразования производят с помощью основных, выбранных единиц измерения. При этом функция (4.30) принимает вид:
Три единицы означают, что первые три числа являются отношением n 1 , n 2 и n 3 к соответственно равным значениям а , в , с . Выражение (4.30) анализируют по размерностям величин. В результате устанавливают численные значения показателей степени х …х 3 , у …у 3 , z …z 3 и определяют критерии подобия.
Наглядным примером использования метода анализа размерностей при разработке аналитико-эскпериментальных методов является расчетный метод Ю.З. Заславского, позволяющий определить параметры крепи одиночной выработки.
ЛЕКЦИЯ 8
Теория подобия. Теория подобия – это учение о подобии физических явлений . Ее использование наиболее эффективно в том случае, когда на основе решения дифференциальных уравнений зависимости между переменными отыскать невозможно. В этом случае, воспользовавшись данными предварительного эксперимента, с применением метода подобия составляют уравнение, решение которого можно распространить за пределы эксперимента. Этот метод теоретического исследования явлений и процессов возможен лишь на основе комбинирования с экспериментальными данными.
Теория подобия устанавливает критерии подобия различных физических явлений и с помощью этих критериев исследует свойства явлений.Критерии подобия представляют собой безразмерные отношения размерных физических величин, определяющих изучаемые явления.
Использование теории подобия дает важные практические результаты. С помощью этой теории осуществляют предварительный теоретический анализ проблемы и выбирают систему величин, характеризующих явления и процессы. Она является основой для планирования экспериментов и обработки результатов исследований. Совместно с физическими законами, дифференциальными уравнениями и экспериментом, теория подобия позволяет получать количественные характеристики изучаемого явления.
Формулирование проблемы и установление плана эксперимента на базе теории подобия значительно упрощается благодаря функциональной зависимости между совокупностью величин, определяющих явление или поведение системы. Как правило, в этом случае речь не идет о том, чтобы изучать отдельно влияние каждого параметра на явление. Очень важно, что можно достичь результатов с помощью одного лишь эксперимента над подобными системами.
Свойства подобных явлений и критерии подобия изучаемых явлений характеризуются тремя теоремами подобия.
Первая теорема подобия. Первая теорема, установленная Ж. Бертраном в 1848г., базируется на общем понятии динамического подобия Ньютона и его втором законе механики. Эта теорема формулируется следующим образом: для подобных явлений можно найти определенную совокупность параметров, называемых критериями подобия, которые равны между собой.
Рассмотрим пример. Пусть два тела, имеющие массы m 1 и m 2 , перемещаются с ускорениями соответственно а 1 и а 2 под действием сил f 1 и f 2 . Уравнения движения имеют вид:
Распространяя результат для n подобных систем, получим критерий подобия:
(4.31)
Критерий подобия условились обозначать символом П , тогда результат вышеприведенного примера запишется:
Таким образом, в подобных явлениях соотношение параметров (критерии подобия) равны между собой и для этих явлений справедливо Обратное утверждение также имеет смысл. Если критерии подобия равны, то явления являются подобными.
Найденное уравнение (4.32) называется критерием динамического подобия Ньютона , оно аналогично выражению (4.29), полученному с помощью метода анализа размерностей, и является частным случаем критерия термодинамического подобия, основанного на законе сохранения энергии.
При исследовании сложного явления могут развиваться несколько различных процессов. Подобие каждого из этих процессов обеспечивается подобием явления в целом. С точки зрения практики очень важно, что критерии подобия могут трансформироваться в критерии другого вида с помощью деления или умножения на константу k . Например, если имеются два критерия П 1 и П 2 , следующие выражения являются справедливыми:
Если подобные явления рассматриваются во времени и в пространстве, речь идет о критерии полного подобия. В этом случае описание процесса наиболее сложно, оно позволяет иметь не только численное значение параметра (силу удара взрывной волны в точке, удаленной от места взрыва на 100 м), но также развитие, изменение рассматриваемого параметра во времени (например, увеличение силы удара, скорость затухания процесса и т.д.).
Если подобные явления рассматриваются только в пространстве или во времени, они характеризуются критериями неполного подобия.
Наиболее часто, используют приблизительное подобие, при котором не рассматриваются параметры, влияющие на данный процесс в незначительной степени. Вследствие этого и результаты исследований будут приблизительными. Степень этого приближения определяется путем сравнения с практическими результатами. Речь идет в этом случае о критериях приблизительного подобия.
Вторая теорема подобия (П – теорема ). Она была сформулирована в начале XX века учеными А. Федерманом и У. Букингемом следующим образом: каждое полное уравнение физического процесса может быть представлено в форме () критериев (безразмерных зависимостей), где m есть число параметров, а k – число независимых единиц измерения.
Такое уравнение может быть решено по отношению к любому критерию и может быть представлено в виде критериального уравнения:
. (4.34)
Благодаря П- теореме возможно уменьшить число переменных размерных величин до () безразмерных величин, что упрощает анализданных, планирование эксперимента и обработку его результатов.
Обычно, в механике, в качестве основных единиц принимаются три величины: длину, время и массу. Тогда при исследовании явления, которое характеризуется пятью параметрами (включая, безразмерную константу), достаточно получить взаимосвязь между двумя критериями.
Рассмотрим пример приведения величин к безразмерному виду, используемый обычно в механике подземных сооружений. Напряженное деформированное состояние пород вокруг выработки предопределяется весом вышележащей толщи γН , где γ – объемный вес пород, Н – глубина расположения выработки от поверхности; прочностной характеристикой пород R ; сопротивлением крепи q ; смещениями контура выработки U ; размерами выработки r ; модулем деформации Е .
В общем виде зависимость можно записать следующим образом:
В соответствии с П- теоремой система из п параметров и одной определяемой величины должна дать безразмерных комбинаций. В нашем случае время не принимается во внимание, следовательно, получаем четыре безразмерные комбинации.
из которых можно составить более простую зависимость:
Третья теорема подобия. Эта теорема сформулирована акад. В.Л. Кирпичевым в 1930 г. следующим образом: необходимым и достаточным условием подобия является пропорциональность схожих параметров, составляющих часть условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.
Два физических явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнения и имеют подобные (граничные) условия однозначности, а их определяющие критерии подобия – численно равны.
Условиями однозначности являются условия, с помощью которых конкретное явление отличают от всей совокупности явлений того же типа. Подобие условий однозначности устанавливается в соответствии со следующими критериями:
– подобие геометрических параметров систем;
– пропорциональность физических постоянных, имеющих основное значение для изучаемого процесса;
– подобие начальных условий систем;
– подобие граничных условий систем в течение всего рассматриваемого периода;
– равенство критериев, имеющих основное значение для изучаемого процесса.
Подобие двух систем будет обеспечено в случае пропорциональности их схожих параметров и равенства критериев подобия, определенных с помощью П- теоремы из полного уравнения процесса.
Различают два типа задач в теории подобия: прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении подобия при известных уравнениях. Обратная задача заключается в установлении уравнения, которое описывает подобие схожих явлений. Решение задачи сводится к определению критериев подобия и безразмерных коэффициентов пропорциональности.
Задача нахождения уравнения процесса с помощью П- теоремы решается в следующем порядке:
– определяют тем или иным методом все параметры, влияющие на данный процесс. Один из параметров записывается в виде функции от других параметров:
(4.35)
– предполагают, что уравнение (4.35) является полным и однородным по отношению к размерности;
– выбирают систему единиц измерений. В этой системе выбирают независимые параметры. Число независимых параметров равно k ;
– составляют матрицу размерностей выбранных параметров и рассчитывают детерминант этой матрицы. Если параметры независимы, то детерминант не будет равен нулю;
– находят комбинации критериев, используя метод анализа размерностей, их число в общем случае равно k –1;
– определяют коэффициенты пропорциональности между критериями с помощью эксперимента.
Критерии механического подобия. В горной науке наибольшее применение находят критерии механического подобия. При этом считают, что другие физические явления (термические, электрические, магнитные и др.) не влияют на изучаемый процесс. Чтобы получить необходимые критерии и постоянные подобия используют закон динамического подобия Ньютона и метод анализа размерностей.
В качестве основных единиц принимаются длина, масса и время. Все остальные характеристики рассматриваемого процесса будут находиться в зависимости от этих трех основных единиц. Следовательно, механическое подобие устанавливает критерии для длины (подобие геометрическое), времени (подобие кинематическое) и массы (подобие динамическое).
Геометрическое подобие двух подобных систем будет иметь место, если все размеры модели изменены в С l раз по отношению к системе, имеющей реальные размеры. Иначе говоря, отношение расстояний в натуре и на модели между любой парой аналогичных точек есть величина постоянная, называемая геометрическим масштабом :
. (4.36)
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента пропорциональности , отношение объемов – .
Условие кинематического подобия будет иметь место, если аналогичные частицы систем, перемещаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные расстояния за отрезки времени t n в натуре и t m на модели, которые отличаются коэффициентом пропорциональности:
(4.37)
Условие динамического подобия будет иметь место, если, кроме условий (4.36) и (4.37), еще и массы аналогичных частиц подобных систем отличаются одна от другой коэффициентом пропорциональности:
. (4.38)
Коэффициенты C l , C t , и C m названы коэффициентами подобия.
1.Основные уравнения динамики
Можно выделить следующие подходы к разработке математических моделей технологических объектов: теоретический (аналитический), экспериментально-статистический, методы построения нечетких моделей и комбинированные методы. Дадим пояснения к этим методам.
Аналитическими методами составления математического описания технологических объектов обычно называют способы вывода уравнений статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, происходящих в исследуемом объекте, а также на основе заданных конструктивных параметров аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также кинетические закономерности процессов переноса массы и теплоты, химических превращений.
Для составления математических моделей на основе теоретического подхода не требуется проведения экспериментов на объекте, поэтому такие методы пригодны для нахождения статических и динамических характеристик вновь проектируемых объектов, процессы которых достаточно хорошо изучены. К недостаткам таких методов составления моделей можно отнести сложность получения и решения системы уравнений при достаточно полном описании объекта.
Детерминированные модели процессов нефтепереработки разрабатываются на основе теоретических представлений о структуре описываемой системы и закономерностях функционирования её отдельных подсистем, т.е. на основе теоретических методов. Располагая даже самыми обширными экспериментальными данными о системе, нельзя описать её работу средствами детерминированной модели, если эти сведения не обобщены и не приведена их формализация, т.е. представлены в виде замкнутой системы математических зависимостей, отображающих с той или иной достоверностью механизм исследуемых процессов. В таком случае следует воспользоваться имеющимися экспериментальными данными для построения статистической модели системы.
Этапы разработки детерминированной модели представлены на рис. 4.
Постановка задачи
Формулировка математической модели
Выбран аналитический метод?
Выбор параметров вычисли-
тельного процесса
Эксперименталь-
Решение контрольных задач ное определение
констант модели
Нет
Контрольные экспе- Проверка адекватности Корректировка
рименты на натур- модели модели
Ном объекте Да
Оптимизационная Оптимизация процесса с Определение целевой
модель помощью модели функции и ограничении
Управление процессом с Модель управления
помощью модели
Рис.4. Этапы разработки детерминированной модели
Несмотря на существенные различия в содержании конкретных задач моделирования разнообразных процессов нефтепереработки, построение модели включает определенную последовательность взаимосвязанных этапов, реализация которых позволяет успешно преодолевать возникающие трудности.
Первым этапом работы является постановка задачи (блок 1), включающая формулировку задания на основе анализа исходных данных о системе и её изученности, оценки выделяемых для построения модели ресурсов (кадры, финансы, технические средства, время и т.д.) в сопоставлении с ожидаемым научно-техническим и социально-экономическим эффектом.
Постановка задачи завершается установлением класса разрабатываемой модели и соответствующих требований к ее точности и чувствительности, быстродействию, условиям эксплуатации, последующей корректировки и т.д.
Следующим этапом работы (блок 2) является формулировка модели на основе понимания сущности описываемого процесса, разделяемого в интересах его формализации на элементарные составляющие явления (теплообмен, гидродинамика, химические реакции, фазовые превращения и т.д.) и согласно принятой степени детализации - на агрегаты (макроуровень), зоны, блоки (микроуровень), ячейки. При этом становится ясно, какими явлениями необходимо или нецелесообразно пренебречь, в какой мере надо учесть взаимосвязь рассматриваемых явлений. Каждому из выделенных явлений ставится в соответствие определенный физический закон (уравнение баланса) и устанавливаются начальные и граничные условия его протекания. Запись этих соотношений с помощью математических символов - следующий этап (блок 3), состоящий в математическом описании изучаемого процесса, образующем его исходную математическую модель.
В зависимости от физической природы процессов в системе и характера решаемой задачи математическая модель может включать уравнения баланса массы и энергии для всех выделенных подсистем (блоков) модели, уравнения кинетики химических реакций и фазовых переходов и переноса вещества, импульса, энергии и т.д., а также теоретические и (или) эмпирические соотношения между различными параметрами модели и ограничения на условия протекания процесса. В связи с неявным характером зависимости выходных параметров Y от входных переменных X в полученной модели необходимо выбрать удобный метод и разработать алгоритм решения задачи (блок 4), сформулированной в блоке 3. Для реализации принятого алгоритма используются аналитические и численные средства. В последнем случае необходимо составить и отладить программу для ЭВМ (блок 5), выбрать параметры вычислительного процесса (блок 6) и осуществить контрольный счёт (блок 8). Аналитическое выражение (формула) или программа, введенная в ЭВМ, представляют новую форму модели, которая может быть использована для изучения или описания процесса, если будет установлена адекватность модели натурному объекту (блок 11).
Дляпроверки адекватности необходимо собрать экспериментальные данные (блок 10) о значениях тех факторов и параметров, которые входят в состав модели. Однако проверить адекватность модели можно только в том случае, если будут известны (из табличных данных и справочников) или дополнительно экспериментально определены некоторые константы, содержащиеся в математической модели процесса (блок 9).
Отрицательный результат проверки адекватности модели свидетельствует о её недостаточной точности и может быть следствие целого набора различных причин. В частности, может потребоваться переделка программы с целью реализации нового алгоритма, не дающего столь большой погрешности, а также корректировка математической модели или внесение изменений в физическую модель, если станет ясно, что пренебрежение какими-либо факторами является причиной неудачи. Любая корректировка модели (блок 12) потребует, конечно, повторного осуществления всех операций, содержащихся в нижележащих блоках.
Положительный результат проверки адекватности модели открывает возможность изучения процесса путём проведения серии расчётов на модели (блок 13), т.е. эксплуатации полученной информационной модели. Последовательная корректировка информационной модели с целью повышения её точности путём учёта взаимного влияния факторов и параметров, введения в модель дополнительных факторов и уточнение различных «настроечных» коэффициентов позволяет получить модель с повышенной точностью, которая может быть инструментом для более глубокого изучения объекта. Наконец, установление целевой функции (блок 15) с помощью теоретического анализа или экспериментов и включение в модель оптимизирующего математического аппарата (блок 14) для обеспечения целенаправленной эволюции системы в область оптимума даёт возможность построить оптимизационную модель процесса. Адаптация полученной модели для решения задачи управления производственным процессом в реальном масштабе времени (блок 16) при включении в систему средств автоматического регулирования завершает работу по созданию математической модели управления.
Залог успеха эксперимента лежит в качестве его планирования. К эффективным экспериментальным планам относятся «смоделированный план с предварительным и заключительным тестированием, план с заключительным тестированием и контрольной группой, план с предварительным и заключительным тестированием и контрольной группой и план Соломона с четырьмя группами. Эти планы, в отличие от квазиэкспериментальных планов, обеспечивают бо льшую уверенность в результатах, так как устраняют возможность возникновения некоторых угроз для внутренней валидности (т.е. угроз предварительного измерения, взаимодействия, фона, естественного развития, инструментальной погрешности, отбора и выбывания)».
Эксперимент состоит из четырех основных этапов независимо от предмета изучения и от того, кем он осуществляется. Так, при проведении эксперимента следует: определить, что именно необходимо узнать; предпринять соответствующие действия (провести эксперимент, манипулируя одной или несколькими переменными); наблюдать эффект и последствия этих действий на другие переменные; определить, в какой мере наблюдаемый эффект может быть обусловлен предпринятыми действиями.
Чтобы быть уверенным, что наблюдаемые результаты получены именно вследствие экспериментальной манипуляции, эксперимент должен быть валиден. Необходимо исключать факторы, которые могут повлиять на результаты. Иначе будет неизвестно, чему приписывать различия в отношении или поведении респондентов, наблюдаемые до и после экспериментального манипулирования: самому процессу манипулирования, изменению измерительных инструментов, методики записи, способов сбора данных или непоследовательному проведению интервью.
Кроме плана эксперимента и внутренней валидности, исследователю необходимо определить оптимальные условия для проведения запланированного эксперимента. Их классифицируют по уровню реальности экспериментальной обстановки и окружения. Так выделяют лабораторные и полевые эксперименты.
Лабораторные эксперименты: достоинства и недостатки
Лабораторные эксперименты обычно проводятся, когда нужно оценить уровни установленных цен, альтернативные формулировки товара, творческие разработки рекламы, дизайн упаковки. Эксперименты позволяют тестировать различные продукты, рекламные подходы. В ходе лабораторных экспериментов фиксируют психофизиологические реакции, наблюдают за направлением взгляда или за кожно-гальванической реакцией.
При проведении лабораторных экспериментов исследователи имеют достаточные возможности для контроля его хода. Они могут планировать физические условия осуществления экспериментов и манипулировать строго заданными переменными. Но искусственность обстановки проведения лабораторных экспериментов обычно создает среду, отличающуюся от реальных условий. Соответственно в лабораторных у словиях реакция респондентов может отличаться от реакции в естественных условиях.
Как следствие, хорошо разработанные лабораторные эксперименты обычно обладают высокой степенью внутренней валидности, относительно низкой степенью внешней валидности и относительно низким уровнем обобщаемости.
Полевые эксперименты: достоинства и недостатки
В отличие от лабораторных, полевые эксперименты характеризуются высоким уровнем реализма и высоким уровнем обобщаемости. Однако при их проведении возможно возникновение угроз для внутренней валидности. Также необходимо отметить, что проведение полевых экспериментов (очень часто в местах реальных продаж) занимает много времени и дорого стоит.
На сегодня управляемый полевой эксперимент является лучшим инструментом в маркетинговых исследованиях. Он позволяет как выявить связи между причиной и следствием, так и достаточно точно спроектировать результаты эксперимента на реальный целевой рынок.
Примерами проведения полевых экспериментов служат пробные рынки и электронные пробные рынки.
К экспериментам на пробных рынках прибегают при оценке внедрения нового товара, а также альтернатив стратегии и рекламных кампаний перед проведением общенациональной кампании. Таким образом можно оценить альтернативные варианты действия без масштабных финансовых инвестиций.
Для эксперимента на пробном рынке обычно проводится целенаправленный отбор географических областей с целью получить репрезентативные, сопоставимые географические единицы (города, поселки). После того как потенциальные рынки выбраны, они распределяются по экспериментальным условиям. При этом рекомендуется, чтобы «на каждое экспериментальное условие приходилось, по крайней мере, два рынка. Кроме того, если желательно обобщать результаты на всю страну, каждая из экспериментальных и контрольных групп должна включать четыре рынка, по одному из каждого географического региона страны».
Типичный эксперимент на пробном рынке может проводиться в пределах от месяца до года и более. В арсенале исследователей имеются пробные рынки на местах продаж и смоделированные пробные рынки. Пробный рынок на местах продаж обычно имеет довольно высокий уровень внешней валидности и средний уровень внутренней валидности. Смоделированный пробный рынок имеет сильные и слабые стороны, которые присущи лабораторным экспериментам. Это относительно высокий уровень внутренней валидности и относительно низкий уровень внешней валидности. В сравнении с пробными рынками на местах продаж, смоделированные пробные рынки дают бо льшую возможность контроля за посторонними переменными, результаты поступают быстрее и стоимость их получения ниже.
Электронный пробный рынок – это «рынок, на котором маркетинговая исследовательская компания обеспечивает себе возможность контролировать рекламу, передаваемую дома у каждого из участников, и отслеживать покупки, совершенные членами каждой семьи». Исследования, проведенные на электронном пробном рынке, позволяют соотнести тип и количество увиденной рекламы с покупательским поведением. Цель исследования на электронном пробном рынке – повысить степень контроля ситуации эксперимента, не принося при этом в жертву обобщаемость или внешнюю валидность.
Во время эксперимента на электронном пробном рынке, проводимого в пределах ограниченного количества рынков, контролируется телевизионный сигнал, посылаемый в квартиры участников, и регистрируется покупательское поведение лиц, проживающих в этих квартирах. Технологии исследований электронных пробных рынков позволяют менять рекламные ролики для показа каждой отдельной семье, сравнивая реакцию участвующей в тесте группы с контрольной группой. Обычно исследования на пробном электронном рынке продолжаются от шести до двенадцати месяцев.
Более подробную информацию на эту тему можно найти в книге А. Назайкина