Взаимное расположение двух окружностей на плоскости. Взаимное расположение двух окружностей

27.01.2024

Тема урока: « Взаимное расположение двух окружностей на плоскости».

Цель :

Образовательная - усвоение новых знаний о взаимном расположении двух окружностей, подготовка к контрольной работе

Развивающая - развитие вычислительных навыков, развитие логико-структурного мышления; формирование навыков нахождения рациональных путей решения и достижения конечных результатов; развитие познавательной деятельности и творческого мышления .

Воспитательная – формирование у учащихся ответственности, системности; развитие познавательных и эстетических качеств; формирование информационной культуры учащихся.

Коррекционная - развивать пространственное мышление, память, моторику рук.

Тип урока: изучение нового учебного материала, закрепление.

Вид урока: смешанный урок.

Метод обучения: словесный, наглядный, практический.

Форма обучения: коллективная.

Средства обучения: доска

ХОД УРОКА:

1. Организационный этап

- приветствие;

- проверка подготовленности к уроку;

2. Актуализация опорных знаний.
Какую темы мы проходили на прошлых уроках?

Общий вид уравнения окружности?

Выполнить устно:

Блиц-опрос

3. Введение нового материала.

Как вы думаете а какую фигуру мы сегодня будем рассматривать…. А если их две??

Как они могут быть расположены???

Дети показывают руками (соседи) как могут располагаться окружности (физкультминутка)

Ну и как вы думаете что мы сегодня должны рассмотреть??Мы сегодня должны рассмотреть взаимное расположение двух окружностей. И выяснить каково расстояние между центрами в зависимости от расположения.

Тема урока: « Взаимное расположение двух окружностей. Решение задач. »

1. Концентрические окружности

2. Непересекающиеся окружности

3.Внешнее касание

4. Пересекающиеся окружности

5. Внутренне касание

Итак сделаем вывод

4.Формирование умений и навыков

Найдите ошибку в данных или в утверждении и исправьте ее, обосновав свое мнение:

А) Две окружности касаются. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6.
Б) Две окружности имеют, по крайней мере, две общие точки.

В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.

Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.

5.Закрепление навыков и умений.

Окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 3 см. радиус большей- 5 см. Чему равно расстояние между центрами?

Решение: 3+5=8(см)

Окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности 3 см. Радиус большей окружности- 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей?

Решение: 5-3=2(см)

Окружности касаются внутренним образом. Расстояние между центрами окружностей 2,5 см. Чему равны радиусы окружностей?

ответ: (5,5 см и 3 см), (6.5 см и 4 см) и т.д.

ПРОВЕРКА ПОНИМАНИЯ

1) Как могут располагаться две окружности?

2) В каком случае окружности имеют одну общую точку?

3) Как называется общая точка двух окружностей?

4) Какие касания вам известны?

5) Когда окружности пересекаются?

6) Какие окружности называются концентрическими?

Дополнительные задания на тему: Векторы. Метод координат »(если останется время)

1)Е(4;12), F (-4;-10), G (-2;6), H (4;-2) Найти:

а) координаты векторов EF , GH

б) длину вектора FG

в) координаты точки О – середины EF

координаты точки W – середины GH

г) уравнение окружности с диаметром FG

д) уравнение прямой FH

6. Домашнее задание

& 96 №1000. Какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найти центр и радиус

7. Подведение итогов урока (3 мин.)

(дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся).

8. Этап рефлексии (2 мин.)

(инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, своей деятельности, взаимодействия с учителем и одноклассниками с помощью рисунков)

Тема урока: « Взаимное расположение двух окружностей на плоскости».

Цель :

Коррекционная - развивать пространственное мышление, память, моторику рук.

Тип урока: изучение нового учебного материала, закрепление.

Вид урока: смешанный урок.

Метод обучения: словесный, наглядный, практический.

Форма обучения: коллективная.

Средства обучения: доска

ХОД УРОКА:

1. Организационный этап

- приветствие;

- проверка подготовленности к уроку;

2. Актуализация опорных знаний.
Какую темы мы проходили на прошлых уроках?

Общий вид уравнения окружности?

Выполнить устно:

Блиц-опрос

3. Введение нового материала.

Как вы думаете а какую фигуру мы сегодня будем рассматривать…. А если их две??

Как они могут быть расположены???

Дети показывают руками (соседи) как могут располагаться окружности (физкультминутка)

Тема урока: « Взаимное расположение двух окружностей. Решение задач. »

1. Концентрические окружности

2. Непересекающиеся окружности

3.Внешнее касание

4. Пересекающиеся окружности

5. Внутренне касание

Итак сделаем вывод

4.Формирование умений и навыков

Найдите ошибку в данных или в утверждении и исправьте ее, обосновав свое мнение:

В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.

Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.

5.Закрепление навыков и умений.

Решение: 3+5=8(см)

Решение: 5-3=2(см)

ответ: (5,5 см и 3 см), (6.5 см и 4 см) и т.д.

ПРОВЕРКА ПОНИМАНИЯ

1) Как могут располагаться две окружности?

2) В каком случае окружности имеют одну общую точку?

3) Как называется общая точка двух окружностей?

4) Какие касания вам известны?

5) Когда окружности пересекаются?

6) Какие окружности называются концентрическими?

Дополнительные задания на тему: Векторы. Метод координат »(если останется время)

1)Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Найти:

а) координаты векторов EF,GH

б) длину вектора FG

в) координаты точки О – середины EF

координаты точки W – середины GH

г) уравнение окружности с диаметром FG

д) уравнение прямой FH

6. Домашнее задание

& 96 №1000. Какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найти центр и радиус

7. Подведение итогов урока (3 мин.)

(дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся).

8. Этап рефлексии (2 мин.)

Пусть окружности заданы вектором от начала координат к центру и радиусом этой окружности.

Рассмотрим окружности A и B с радиусами Ra и Rb и радиус-векторами(вектор к центру) a и b. При этом Oa и Ob - их центры. Без ограничения общности рассуждения, будем считать, что Ra > Rb.

Тогда выполняются следующие условия:

Задача 1: Особняки важных вельмож

Точки пересечения двух окружностей

Предположим, A и B пересекаются в двух точках. Найдем эти точки пересечения.

Для этого вектор от a до точки P, которая лежит на окружности A и лежит на OaOb. Для этого надо взять вектор b - a, который и будет являтся вектором между двумя центрами, нормализовать (заменить на сонаправленный единичный вектор) и умножить на Ra. Получившийся вектор обозначим как p. Эту конфигурацию можете видеть на рис. 6

Рис. 6. Вектора a,b,p и где они обитают.

Обозначим i1 и i2 как вектора от a до точек пересечения I1 и I2 двух окружностей. Становится очевидно, что i1 и i2 получаются поворотом из p. Т.к. нам известны все стороны треугольников OaI1Ob и OaI2Ob (Радиусы и расстояние между центрами), мы можем получить этот угол fi, поворот на которого вектор p в одну сторону даст I1, а в другую I2.

По теореме косинусов, он равен:

Если повернуть p на fi, то получится i1 или i2, взависимости от того, в какую сторону поворачивать. Далее вектор i1 или же i2 надо сложить с a для получения точки пересечения

Этот метод сработает даже если центр одной окружности лежит внутри другой. Но там точно вектор p придется задавать в направлении от a к b, что мы и делали. Если строить p, опираясь на другую окружность, то тогда ничего не выйдет

Ну и в заключение ко всему надо упоминуть один факт: если окружности касаются, то несложно убедится, что P и есть точка касания (это верно и для внутреннего, и для внешнего касания).
Здесь вы можете видеть визуализацию (для запуска нужно кликнуть).

Задача 2: Точки пересечения

Этот метод рабочий, но вместо угла поворота можно вычислить его косинус, а через него синус, после чего использовать уже их при повороте вектора. Это существенно упростит вычисления, избавив код от тригонометрических функций.

Пусть даны окружность и точка не совпадающая с ее центром С (рис. 205). Возможны три случая: точка лежит внутри окружности (рис. 205, а), на окружности (рис. 205, б), вне окружности (рис. 205, в). Проведем прямую она пересечет окружность в точках К и L (в случае б) точка совпадет с из которых одна будет ближайшей к точке сравнению со всеми другими точками окружности), а другая - наиболее удаленной.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности - ближайшая к . В самом деле, для любой другой точки окружности ломаная длиннее отрезка САГ: но и потому Напротив, для точки L найдем (снова ломаная длиннее отрезка прямой). Разбор остальных двух случаев предоставляем читателю. Заметим, что наибольшее расстояние равно наименьшее если или если .

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей (рис. 206).

а) Центры окружностей совпадают (рис. 206, а). Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. В случае равенства радиусов они совпадают.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей. Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R, г. Все возможные существенно различные случаи представлены на рис. 206 (считаем ).

1. Расстояние между центрами меньше разности радиусов:

(рис. 206, б), малая окружность лежит внутри большой. Сюда же можно отнести и случай а) совпадения центров (d = 0).

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов:

(рис. 206, s). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров (говорят, что имеет место внутреннее касание).

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы:

(рис. 206, г). Каждая из окружностей лежит частично внутри, частично вне другой.

Окружности имеют две точки пересечения К и L, расположенные симметрично относительно линии центров . Отрезок - общая хорда двух пересекающихся окружностей. Он перпендикулярен к линии центров.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов:

(рис. 206, д). Каждая из окружностей лежит вне другой, но они имеют общую точку на линии центров (внешнее касание).

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: (рис. 206, е). Каждая из окружностей целиком лежит вне другой. Окружности не имеют общих точек.

Приведенная классификация полностью вытекает из разобранного. выше вопроса о наибольшем и наименьшем расстоянии от точки до окружности. Следует лишь рассмотреть на одной из окружностей две точки: самую близкую и самую далекую от центра второй окружности. Например, разберем случай По условию . Но наиболее отдаленная от О точка малой окружности находится от центра О на расстоянии Поэтому вся малая окружность лежит внутри большой. Так же рассматриваются и остальные случаи.

В частности, если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.