Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида
соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ , z = 6 − ρ 2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz . имеем
6− ρ 2 |
||||
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z |
6 ρ − ρ 2 d ρ = |
|||
4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =
2 d ϕ = |
|||||||||||||||||
4 ∫ 2 (3 ρ 2 − |
∫ 2 d ϕ = |
32π |
|||||||||||||||
Если не учитывать симметрию, то |
|||||||||||||||||
6− ρ 2 |
32π |
||||||||||||||||
V = ∫ |
dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = |
||||||||||||||||
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.
3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f (x, y) определена вдоль плоской кусочно-
гладкой1 кривой L , концами которой будут точки A и B . Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A , M 1 ,... M n = B . На
каждой из частичных дуг M i M i + 1 выберем произвольную точку (x i , y i ) и вычислим значения функции f (x, y) в каждой из этих точек. Сумма
1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
n− 1 |
|
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i , |
i = 0
где∆ l i – длина частичной дуги M i M i + 1 , называется интегральной суммой
для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин |
|||
частичных дуг M i M i + 1 , i = |
|||
0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i . |
|||
0 ≤i ≤n −1 |
|||
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1) |
|||
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 , |
|||
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от |
выбора точек (x i , y i ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x , y ) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x , y ) dl .
Таким образом, по определению |
||
n− 1 |
||
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl. |
||
λ → 0 i = 0 |
Функция f (x , y ) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L ,
кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В - конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.
Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x , y ) ≡ 1 для (x , y ) L , то
получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа
l = ∫ dl.
Действительно, из определения криволинейного интеграла следует, |
||||
dl = lim n − 1 |
||||
∆l |
Lim l = l . |
|||
λ → 0 ∑ |
λ→ 0 |
|||
i = 0 |
||||
3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа |
||||
аналогичны свойствам определенного интеграла: |
||||
1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl. |
||||
2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа. |
||||
и L , не |
||||
3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L |
||||
имеющие общих внутренних точек, то
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.
4 о .Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x , y ) в
произвольных точках и длины частичных дуг ∆ l i , которые положительны,
независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть
f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl . |
|||
3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа |
|||
сводится к вычислению определенных интегралов. |
|||
x= x(t) |
|||
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями |
y= y(t) |
||
Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
концу (точка В ) |
[α , β ] |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x (t ), y (t ) и |
производные |
x (t), y (t) |
Непрерывны, |
f (x , y ) - |
|||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функций одной переменной известно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = (x (t)) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x (t ) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.1. |
Вычислить |
окружности |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x= a cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ t ≤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y= a sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = |
(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и по формуле (3.4) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Cos 2t )dt = |
sin 2t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a |
3 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
πa 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
sin π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
L задана |
уравнением |
y = y(x) , |
a ≤ x ≤ b |
y(x) |
||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной y |
(x ) при a ≤ x ≤ b , то |
|||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (y (x )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x)) |
||||||||||||||||||||
(y (x )) |
||||||||||||||||||||
L задана |
x = x(y), c ≤ y ≤ d |
x (y ) |
||||||||||||||||||
уравнением |
||||||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то |
||||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (x (y )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y) |
||||||||||||||||||||
1 + (x (y )) |
||||||||||||||||||||
Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы |
2 x от |
|||||||||||||||||||
точки А (0,0) до точки В (2,2). |
||||||||||||||||||||
Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя |
||||||||||||||||||||
формулы (3.5) и(3.6) |
||||||||||||||||||||
1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как |
||||||||||||||||||||
2x (y ≥ 0), y ′ |
||||||||||||||||||||
2 x = |
2 x , |
dl = |
1+ 2 x dx , |
|||||||||||||||||
3 / 2 2 |
||||||||||||||||||||
1 (5 |
3 2 − 1) . |
|||||||||||||||||||
∫ ydl = ∫ |
2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx = |
1 (2x + 1) |
||||||||||||||||||
2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как |
||||||||||||||||||||
x = 2 , x |
Y, dl |
1 + y |
||||||||||||||||||
y 1 + y 2 dy = |
(1 + y |
/ 2 2 |
||||||
∫ ydl = ∫ |
||||||||
3 / 2 |
||||||||
1 3 (5 5 − 1).
Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x , y , z ) по
пространственной кусочно-гладкой кривой L :
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
α ≤ t ≤ β , то
dl = |
||||||||||||||||
(x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
||||||||||||||
∫ f (x, y, z) dl = |
||||||||||||||||
= ∫ |
dt . |
|||||||||||||||
f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
x= x(t) , y= y(t)
z= z(t)
Пример 3.3. Вычислить∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , где L – дуга кривой
x= t cos t |
0 ≤ t ≤ 2 π. |
|
y = t sin t |
||
z = t |
||
x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 , |
||
dl = |
(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt = |
Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =
2 + t2 dt .
Теперь по формуле (3.7) имеем
∫ (2z − |
x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t − |
t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t ) |
2 + t 2 dt = |
|||||||||||||||||||
T 2 ) |
||||||||||||||||||||||
= ∫ |
t 2 + t |
dt = |
4 π |
− 2 2 |
||||||||||||||||||
цилиндрической |
поверхности, |
|||||||||||||||||||||
которая составлена из перпендикуляров к |
||||||||||||||||||||||
плоскости xOy , |
восстановленных в точках |
|||||||||||||||||||||
(x , y ) |
L = AB |
и имеющих |
представляет собой массу кривой L , имеющей переменную линейную плотность ρ (x , y )
линейная плотность которой меняется по закону ρ (x , y ) = 2 y .
Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как
1+ t |
dt , |
|||||||||||||
x (t) = 1, y (t) = t , dl = |
||||||||||||||
3/ 2 1 |
||||||||||||||
1 (1+ t |
||||||||||||||
m = ∫ 2 ydl = ∫ |
1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt = |
|||||||||||||
(2 3 / 2 − |
1) = |
2 2 − 1. |
||||||||||||
3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по |
||||||||||||||
координатам ). Пусть функция |
f (x , y ) определена вдоль плоской |
|||||||||||||
кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В . Опять |
||||||||||||||
произвольным |
разобьем |
кривую L |
||||||||||||
M 0 = A , M 1 ,... M n = B Так же выберем в пределах |
каждой частичной |
|||||||||||||
дуги M i M i + 1 |
произвольную точку |
(xi , yi ) |
и вычислим |
Кривая АВ, заданная параметрическими уравнениями называется гладкой, если функции и имеют на отрезке непрерывные производные и причем Если в конечном числе точек отрезка эти производные не существуют или одновременно обращаются в нуль, то кривая называете я кусочно-гладкой. Пусть АВ - плоская кривая, гладкая или ку-сочно-гладкая. Пусть f(M) - функция, заданная на кривой АВ или в некоторой области D, содержащей эту кривую. Рассмотрим разбиение кривой А В на части точками (рис. 1). Выберем на каждой из дуг A^At+i произвольную точку Mk и составим сумму где Alt - длина дуги и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть Д / - наибольшая издлин частичных дуг, т. е. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Определе нив. Если при интегральная сумма (I) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом \ -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символом В этом случае функция /(М) называется интегрируемой вдоль кривой АВУ кривая А В называется контуром интегрирования, А - начальной, В - конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению, Пример 1. Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью J(M). Найти массу т кривой L. (2) Разобьем кривую L на п произвольных частей) и вычислим приближен- но массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке /(Af*). Тогда сумма кшо где Д/д - длина Дг-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при Ы -* 0 (Д / = max Л/») получим точное значение массы всей кривой L, т.е. Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит, 1.1. Существование криволинейного интеграла 1-го рода Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис.2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями (3) где L - длина кривой АВ. Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x} у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной I: / (х(1)} у(1)). Обозначив через значение параметра I, отвечающее точке Мку перепишем интегральную сумму (I) в виде Это - интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны междусобой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом, (5) Теорема 1. Если функция /(М) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл (поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа). 1.2. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода 1. Из вида интегральной суммы (1) следует, что т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит ог направления интегрирования. 2. Линейность. Если для каждой из функций /() существует криволинейный интеграл по кривой ABt то для функции а/, где а и /3 - любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ> причем 3. Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков и для функции /(М) существует криволинейный интеграл по АВУ то существуют интегралы причем 4. Если 0 на кривой АВ, то 5. Если функция интегрируема на кривой АВ, то функция || также интегрируема на А В, и при этом б. Формула среднего значения. Если функция / непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что где L - длина кривой АВ. 1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями причем точке А соответствует значение t = to, а точке В - значение. Будем предполагать, что функции) непрерывны на вместе со своими производными и выполнено неравенство Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле В частности, если кривая АВ задана явным уравнением непрерывно дифференцируема на [а, Ь] и точке А соответствует значение х = а, а точке В - значение х = 6, то, принимая х за параметр, получаем 1.4. Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Тогда криволинейный интеграл взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы: Пример 2. Вычислитькриволинейный интеграл где L - контур треугольнике с вершинами в точка* (рис.3). По свойству аддитивности имеем Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: , то На отрезке АН имеем, откуда причем тогда Рис. Наконец, Следовательно, Замечание. При вычислении интегралов мы воспользовались свойством 1, согласно которому. Криволинейные интегралы 2-го рода Пусть А В - гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть - вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками координаты которых обозначим соответственно через (рис. 4). На каждой из элементарныхдуг АкАк+\ возьмем произвольно точку и составим сумму Пусть Д/ - длина наибольшей из дуг Определение. Если при сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек rjk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-города от вектор-функции по кривой АВ и обозначается символом Так что по определению Теорема 2. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-города существует. Пусть - радиус-вектор точки М(х, у). Тогда и подынтегральное выражение в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(M) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции по кривой АВ можно записать коротко так: 2.1. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями, где функции непрерывны вместе с производными на отрезке, причем изменению параметра t от t0 до t\ соответствует движение точки по кривой АВ отточки А к точке В. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода сводится к следующему определенному интегралу: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла. О) Пример 1. Вычислить интеграл вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки 2) вдоль параболы, соединяющей те же тонки) Уравнение линии параметр, откуда Так что 2) Уравнение линии AB: Отсюда поэтому Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависитот формы пути интегрирования. 2.2. Свойства криволинейного интеграл а 2-го рода 1. Линейность. Если существуют Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между то при любых действительных а и /5 существует и интеграл причем 2. Аддитеностъ. Если кривая АВ разбита на части АС и СБ и криволинейный интеграл существует, то существуют и нтегралы Последнее свойство соитвггггнусг физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода ках работы силового поля F вдоль некоторого путь: при изменении направления дешкения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 2.3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода где ориентированная кривая АВ (А - начальная точка, В - конечная точка) задана векгорным уравнением (здесь I - длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6). Тогда dr или где г = т(1) - единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(1). Тогда Заметим, что последний интеграл в этой формуле - криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной г заменяется на противоположный вектор (-г), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла. Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом: Область, ограниченную контуром L обозначим D . Если функции P (x , y ) , Q (x , y ) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D , то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D . Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей. Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл , если L - контур треугольника OAB , где О (0; 0) , A (1; 2) и B (1; 0) . Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина. а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB : Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA : Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки: . Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO : Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника: . б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина: Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее. Пример 2. , где L - контур OAB , OB - дуга параболы y = x ² , от точки О (0; 0) до точки A (1; 1) , AB и BO - отрезки прямых, B (0; 1) . Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру: Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл , если L - контур, который образуют линия y = 2 − |x | и ось Oy . Решение. Линия y = 2 − |x | состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x < 0 . Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат. |