Из школьного курса математики известно, что под квадратным трехчленом понимается выражение вида
ax 2 + bx + c, где a ≠ 0.
Корни этого трехчлена вычисляются по формуле: Х 1,2 = (-b ± √D) / (2a), где D = b 2 – 4ac.
D называют дискриминантом . Он имеет важнейшее значение для решения задач по данной теме, так как по нему определяется количество корней трехчлена.
Их два – если D > 0, один – если D = 0 (иногда говорят два одинаковых, т.е. х 1 = х 2 = -b/(2a)), и если D < 0, то действительных корней нет.
Функцию вида (*) у = ax 2 + bx + c , где a ≠ 0 называют квадратической. Ее график – парабола, ветви которой направлены вверх, если a > 0 и вниз если a < 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Точка пересечения параболы с осью ОУ – с. Легко определить координаты вершины параболы (m ;n).
m = (x 1 + x 2)/2 или (**) m = -b/(2a).
n можно вычислить путем подстановки значения m вместо х в формулу
у = ax 2 + bx + c, или же воспользоваться формулой y = -D/(4a).
Если в квадратном трёхчлене выделить полный квадрат, то m и n в записи будут присутствовать в явном виде: (***) y = a(x – m) 2 + n.
Здесь изложен практически весь справочный материал, необходимый для решения задач по заявленной теме. Рассмотрим некоторые примеры заданий.
Пример 1.
При каких значениях а вершина параболы y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 лежит во второй четверти координатной плоскости?
Решение.
Квадратичная функция записана в форме выделенного полного квадрата (***).
Тогда ясно, что m = 13a и n = -a 2 + 6a + 16. Чтобы вершина с координатами (m; n) лежала во второй четверти необходимо, чтобы m < 0, n > 0. Условия должны удовлетворяться одновременно. Следовательно, решаем систему неравенств:
{13a < 0,
{-a 2 + 6a + 16 > 0
Из первого неравенства имеем a < 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).
Ответ: при всех а Є(-2: 0) или при -2 < a < 0.
Пример 2.
При каких значения параметра а наибольшее значение функции y = ax 2 – 2x + 7a равно 6?
Решение.
Квадратическая функция будет иметь наибольшее значение лишь, если ветви параболы направлены вниз (т.е. a < 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем
m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .
Тогда n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; или 7a 2 – 1 = 6a.
Решив полученное уравнение имеем a = 1 или a = -1/7. Но a = 1 не удовлетворяют первому условию.
Ответ: при a = -1/7.
Пример 3.
Найти количество целых значений параметра а, при которых уравнение
а) |x 2 – 8x + 7| = a 2 ; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 имеет 4 корня.
Решение.
а) Здесь наиболее короткий способ решения – графический. План таков:
1. Строим график функции у = x 2 – 8x + 7 (парабола).
2. Затем у = |x 2 – 8x + 7| (отображаем нижнюю часть графика относительно ОХ).
Дальнейший ход решения очевиден из рисунка. Прямая пересечет график в четырех точках, если 0 < a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.
Ответ: 4.
b) Решение этого примера осуществляется по такой же схеме. Разница лишь в том, что при построении графика функции у = |x 2 – 6|x| – 16| придется сделать два отображения: относительно ОХ нижней части графика и относительно ОУ – правой. Если вы правильно построите график, то легкообнаружите 7 решений:
а = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;
Пример 4.
При каких значениях а график квадратного трёхчлена у = аx 2 + (а – 3)x + а лежит выше оси абсцисс?
Решение.
Проведём следующие рассуждения. График квадратного трёхчлена будет лежать выше оси ОХ только в том случае когда ветви параболы направлены вверх, т.е
а > 0 (*), и ось ОХ парабола не пересекает, т.е. D < 0 или
(а – 3) 2 – 4а 2 < 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) > 0 → а Є (-∞; -3) или (1; ∞). С учётом условия (*) получим а Є (1; ∞).
Ответ: а Є (1; ∞).
Пример 5.
При каких значениях а график квадратного трёхчлена у = аx 2 + (а – 3)x + а имеет две общие точки с положительной частью оси ОХ?
Решение.
Разберемся с условиями для коэффициентов: (рисунок смотрим ниже)
1. Две точки пересечения с осью ОХ получим, если
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0
2. Точки окажутся с одной стороны от нуля, если ветви направлены вверх и f(0) = a > 0 или в случае, когда ветви направлены вниз и f(0) = a < 0
3. Оба корня будут положительны, если координата х вершины положительна, т.е. m = -(a – 3)/(2a) > 0.
Исходя из выше изложенного, наши условия сведутся к решению двух систем:
Первая система:
{(a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
{a > 0,
{-(a – 3)/(2a) > 0
Упростив, получаем:
{(3a – 3)(a + 3) < 0,
{a > 0,
{(a – 3) < 0
{а Є (-3; 1),
{а Є (0; ∞),
{а Є (-∞; 3)
и общее решение системы а Є(0; 1).
Вторая система:
{(a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
{a < 0,
{-(a – 3)/(2a) > 0
Упростив, получаем:
{(3a – 3)(a + 3) < 0,
{a < 0,
{(a – 3) > 0
Решения каждого из неравенств:
{а Є (-3; 1)
{а Є (-∞; 0)
{а Є (3; ∞)
и система не имеет решений
Таким образом, наша парабола имеет две общие точки с положительным направлением оси ОХ, если параметр а Є (0; 1).
Пример 6.
При каких значениях а корни уравнения 4а 2 х 2 – 8ах + 4 – 9а 2 = 0 больше 3?
Рассматриваем график квадратного трёхчлена у = 4а 2 х 2 – 8ах + 4 – 9а 2 .
План решения этого задания построим по образцу предыдущего примера.
1. Две точки пересечения с осью ОХ получим, если D > 0 и а ≠ 0.
2. Ветви здесь всегда направлены только вверх
(при а ≠ 0; 4а 2 > 0).
3. Точки окажутся с одной стороны от 3, если f(3) > 0.
(36а 2 – 24а + 4 – 9а 2 > 0).
4. Оба корня будут больше (правее) трех, если координата х вершины больше (правее) трех, т.е. m = 8а/(8a 2) > 3.
Если вы правильно воспользуетесь этими условиями, то ответ получите такой: а Є(0;2/9). Проверьте.
Надеюсь, теперь читателю становится ясно, как важно уметь хорошо видеть свойства параболы при решении задач данного типа.
Остались вопросы? Не знаете, как решать квадратные уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Определение
Параболой называется график квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0$.
График функции $y = x^2$.
Для схематичного построения графика функции $y = x^2$ найдем несколько точек, удовлетворяющих этому равенству. Для удобства запишем координаты этих точек в виде таблицы:
График функции $y = ax^2$.
Если коэффициент $a > 0$, то график $y = ax^2$ получается из графика $y = x^2$ либо вертикальным растяжением (при $a > 1$), либо сжатием к оси $x$ (при $0 < a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = 2x^2$ | $y = \dfrac{x^2}{2}$ |
|
|
Если же $a < 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = - x^2$ | $y = -2x^2$ | $y = - \dfrac{x^2}{2}$ |
|
|
|
График квадратичной функции.
Для построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$ нужно выделить из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ полный квадрат, то есть представить его в виде $a(x - x_0)^2 + y_0$. График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из соответствующего графика $y = ax^2$ смещением на $x_0$ вдоль оси $x$, и на $y_0$ вдоль оси $y$. В итоге точка $(0;0)$ переместится в точку $(x_0;y_0)$.
Определение
Вершиной параболы $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ называется точка с координатами $(x_0;y_0)$.
Построим параболу $y = 2x^2 - 4x - 6$. Выделив полный квадрат, получим $y = 2(x - 1)^2 - 8$.
| Построим график $y = 2x^2$ | Сместим его вправо на 1 | И вниз на 8 |
|
|
|
В итоге получилась парабола с вершиной в точке $(1;-8)$.
График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $y$ в точке $(0; c)$ и ось $x$ в точках $(x_{1,2};0)$, где $x_{1,2}$ - корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при этом если корней у уравнения нет, то соответствующая парабола не пересекает оси $x$).
Например, парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$ пересекает оси в точках $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.