Все натуральные числа. Числа

Навигация по странице:

Определение. Натуральные числа - это числа, которые используются для счета: 1 , 2 , 3 , …, n , …

Множество натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis - естественный).

Натуральные числа в десятичной системе счисления записываются с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Множество натуральных чисел - является упорядоченным множеством , т.е. для любых натуральных чисел m и n справедливо одно из соотношений:

• либо m = n (m равно n ),
• либо m > n (m больше n ),
• либо m < n (m меньше n ).

• Наименьшее натурально число - единица (1 )
• Наибольшего натурального числа не существует .
• Нуль (0 ) не является натуральным числом.

Множество натуральных чисел бесконечно , так как для любого числа n всегда найдется число m , которое больше n

Из соседних натуральных чисел, число, которое стоит левее числа n называется предыдущим числу n , а число, которое стоит правее называется следующим за n .

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям над натуральными числами (операциям в результате, которых получается натуральных чисел) относятся следующие арифметические операции:

• Сложение
• Умножение
• Возведение в степень a b , где a - основание степени и b - показатель степени. Если основание и показатель - натуральные числа, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как их результат не всегда будет натуральным числом.

• Вычитание (При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого)
• Деление

Классы и разряды

Разряд - положение (позиция) цифры в записи числа.

Низший разряд - самый правый. Старший разряд - самый левый.

Пример:

5 - единиц, 0 - десятков, 7 - сотен,
2 - тысячи, 4 - десятков тысяч, 8 - сотен тысяч,
3 - миллиона, 5 - десятков миллионов, 1 - сотня миллионов

Для удобства чтения, натуральных числа разбивают, на группы по три цифры в каждой начиная справа.

Класс - группа из трех цифр, на который разбито число, начиная справа. Последний класс может состоять из трех, двух или одной цифры.

• Первый класс - класс единиц;
• Второй класс - класс тысяч;
• Третий класс - класс миллионов;
• Четвертый класс - класс миллиардов;
• Пятый класс - класс триллионов;
• Шестой класс - класс квадрильонов (квадриллионов);
• Седьмой класс - класс квинтильонов (квинтиллионов);
• Восьмой класс - класс секстильонов;
• Девятый класс - класс септильонов;

Пример:

34 - миллиарда 456 миллионов 196 тысяч 45

Сравнение натуральных чисел

1. Сравнение натуральных чисел с разным количеством цифр

   Среди натуральных чисел больше то, у которого больше цифр

2. Сравнение натуральных чисел с равным количеством цифр

   Сравнить числа поразрядно, начиная со старшего разряда. Больше то, у которого больше единиц в наивысшем одноименном разряде

Пример:

3466 > 346 - так как число 3466 состоит из 4 цифр, а число 346 из 3 цифр.

34666 < 245784 - так как число 34666 состоит из 5 цифр, а число 245784 из 6 цифр.

Пример:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Второе из натуральных чисел с равным количеством цифр больше, так как 6 > 2.

Определение

Натуральными числами называются числа, которые используются при счете или для указания порядкового номера предмета среди однородных предметов.

Например. Натуральными будут такие числа: $2,37,145,1059,24411$

Натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурально числа 1. Множество всех натуральных чисел обозначают $N=\{1,2,3, \dots n, \ldots\}$. Оно бесконечно, так как не существует наибольшего натурального числа. Если к любому натуральному числу прибавить единицу, то получаем натуральное число, следующее за данным числом.

Пример

Задание. Какие из следующих чисел являются натуральными?

$$-89 ; 7 ; \frac{4}{3} ; 34 ; 2 ; 11 ; 3,2 ; \sqrt{129} ; \sqrt{5}$$

Ответ. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

На множестве натуральных чисел вводится две основные арифметические операции - сложение и умножение . Для обозначения этих операций используются соответственно символы " + " и " " (или " × " ).

Сложение натуральных чисел

Каждой паре натуральных чисел $n$ и $m$ ставится в соответствие натуральное число $s$, называемое суммой. Сумма $s$ состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах $n$ и $m$. О числе $s$ говорят, что оно получено в результате сложения чисел $n$ и $m$, и пишут

Числа $n$ и $m$ называются при этом слагаемыми. Операция сложения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность: $n+m=m+n$
2. Ассоциативность: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке .

Пример

Задание. Найти сумму чисел:

$13+9 \quad$ и $ \quad 27+(3+72)$

Решение. $13+9=22$

Для вычисления второй суммы, для упрощения вычислений, применим к ней вначале свойство ассоциативности сложения:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Ответ. $13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$

Умножение натуральных чисел

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел $n$ и $m$ ставится в соответствие натуральное число $r$, называемое их произведением. Произведение $r$ содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе $n$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $m$. О числе $r$ говорят, что оно получено в результате умножения чисел $n$ и $m$, и пишут

$n \cdot m=r \quad $ или $ \quad n \times m=r$

Числа $n$ и $m$ называются множителями или сомножителями.

Операция умножения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность: $n \cdot m=m \cdot n$
2. Ассоциативность: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке .

Пример

Задание. Найти произведение чисел:

12$\cdot 3 \quad $ и $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Решение. По определению операции умножения:

$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Ко второму произведению применим свойство ассоциативности умножения:

$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Ответ. $12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Операция сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Сумма и произведение любых двух натуральных чисел всегда есть число натуральное, поэтому множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

Так же на множестве натуральных чисел можно ввести операции вычитания и деления , как операции обратные к операциям сложения и умножения соответственно. Но эти операции не будут однозначно определенны для любой пары натуральных чисел.

Свойство ассоциативности умножения натуральных чисел позволяет ввести понятие натуральной степени натурального числа: $n$-й степенью натурального числа $m$ называется натуральное число $k$, полученное в результате умножения числа $m$ самого на себя $n$ раз:

Для обозначения $n$-й степени числа $m$ обычно используется запись: $m^{n}$, в котором число $m$ называется основанием степени , а число $n$ - показателем степени .

Пример

Задание. Найти значение выражения $2^{5}$

Решение. По определению натуральной степени натурального числа это выражение можно записать следующим образом

$$2^{5}=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную

Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.

Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

• Единица считается натуральным числом.
• Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
• Перед единицей нет никакого натурального числа.
• Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
• Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

• сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
• умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
• возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:

Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

• Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
• Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
• Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
• Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
• распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

1-й класс единицы	1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни
2-й класс тысячи	1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч
3-й класс миллионы	1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов
4-й класс миллиарды	1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы. Основные свойства натуральных чисел. Коммутативность сложения. a + b = b + a Коммутативность умножения. ab = ba Ассоциативность сложения. (a + b) + c = a + (b + c) Ассоциативность умножения. Дистрибутивность умножения относительно сложения: Действия над натуральными числами. 4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения. Если b ∙ с = а , то Формулы для деления: а: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числовые выражения и числовые равенства. Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением . Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части. Порядок выполнения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени. Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо. Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени. Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках. Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.