Задача на пересечение плоскостей в силу своей важности носит у ряда авторов наименование «позиционная задача № 2».
Из стереометрии известно, что линией пересечения двух плоскостей служит прямая. В предыдущих предварительных задачах, где речь шла о частных случаях пересечения плоскостей, мы исходили из этого определения.
Как известно, чтобы построить ту или иную прямую, в простейшем случае требуется отыскать две точки, принадлежащие этой прямой. В случае задания плоскости следами в качестве этих двух точек выступают точки пересечения одноименных следов пересекающихся плоскостей.
Примеры для самостоятельной работы
Упражнение 5.1
Построить линии пересечения плоскостей, заданных следами (рис. 72):
- а) горизонтально проецирующей I и фронтально проецирующей А;
- б) горизонтально проецирующей Z и плоскости общего положения Q;
- в) двух плоскостей общего положения I и 0.
Рис. 72
На рис. 73 приведены ответы к этому упражнению.
Для случаев задания плоскостей локальными плоскими фигурами уместно использование по крайней мере двух различных путей решения.
Рис. 73
Первый путь решения - использование трехступенного алгоритма нахождения точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения. Для нахождения линии пересечения двух треугольников один из треугольников оставляют без изменения, а второй мысленно расчленяют на отдельные отрезки, представляя их в качестве прямых общего положения. Сначала находят точку пересечения одной из прямых общего положения с плоскостью треугольника. Затем находят еще одну недостающую точку, принадлежащую искомой линии. Это делается аналогичным путем, повторяя всю описанную последовательность действий.
Упражнение 5.2
По заданным координатам вершин двух треугольников ЛВС и DEK построить эпюр последних и найти линию их пересечения. Указать видимость элементов обоих треугольников на эпюре: А (0, 9, 2); ?(10, 1, 16); С (23, 14, 9); D (3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12,0, 2). Для нахождения линий пересечения треугольников рекомендуется сначала найти точку встречи прямой KD с треугольником АВС, а затем точку встречи прямой СВ с треугольником EDK.
Общий вид полученного эпюра приведен на рис. 74.
Второй путь решения - использование двух вспомогательных секущих плоскостей уровня.
Заданные пересекающиеся плоские фигуры следует дважды пересечь вспомогательными плоскостями уровня (одноименными либо разноименными - безразлично), например двумя горизонтальными плоскостями уровня.
Нетрудно понять, что одноразовое рассечение позволяет отыскать две пересекающиеся прямые h l и И 2 , дающие одну точку А, принадлежащую искомой линии пересечения (рис. 75). Проводя еще одну аналогичную вспомогательную плоскость на некотором расстоянии
Рис. 74
Рис. 75
от первой, получают аналогичное построение и еще одну точку. Соединяя одноименные проекции двух полученных точек, находят искомую линию пересечения двух плоскостей.
Упражнение 5.3
По заданным координатам точек двух треугольных фигур построить эпюр последних, на котором построить с использованием вспомогательных плоскостей линию пересечения треугольников. Указать видимость элементов обоих треугольников на эпюре:
к АВС. А (16, 5, 17); Я (10, 19,
A DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,
Общий вид решенной задачи изображен на рис. 76.
Упражнение 5.4
Для закрепления навыков нахождения линии пересечения двух плоскостей приводится задача, решение которой дается в динамике построений в соответствии со ступенями алгоритма.
Найти линию пересечения двух плоскостей общего положе- р ис jq
ния, заданных двумя треугольниками АВС и DEF, и определить видимость их взаимопроникновения (рис. 77).
Решение примера сводится к отысканию точек пересечения сторонами (прямыми) ААВС с плоскостью общего положения, заданной ADEF. Алгоритм решения этого примера известен.
Заключаем сторону (прямую) АС ЬЛВС во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость т _1_ П 2 (рис. 78).
Фронтальный след этой вспомогательной плоскости пересекает проекции сторон D 2 E 2 глЕ 2 - 1 2 и D 2 F 2 пт 2 = 2 2 в точках 1 2 и 2 2 . Проекционные линии связи позволяют на горизонтальной плоскости проекций определить линию пересечения (1 !~2 2) = n AD X E X F { . Тогда точка К 1 и ее проекция К 2 определяют точку пересечения прямой АС с ADEF.
Повторяем алгоритм нахождения точки пересечения стороны ААВС прямой ВС с ADEF. Заключаем ВС во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость р _L П 2 (рис. 79).
Находим проекции точек 3 и 4 и на горизонтальной плоскости проекций определяем проекцию точки пересечения прямой В 1 С [
с линией пересечения (3,-4,):
Проекционная линия связи позволяет найти ее фронтальную проекцию точку М 2 .
Соединяем найденные точки Ки Ми находим линию пересечения двух плоскостей общего положения AABC n ADEF= АЖ (рис. 80).
Видимость сторон ААВС относительно ADEF определяется с помощью конкурирующих точек. Сначала определяем видимость геометрических фигур на плоскости проекций П 2 . Для этого через конкурирующие точки 5 и 6 (5 2 = 6 2) проводим проекционную линию связи, перпендикулярную оси проекций х п (рис. 81).
По горизонтальным проекциям 5 У и 6 { точек 5 и 6, в которых линия проекционной связи соответственно пересекает скрещивающиеся прямые АС 4 DF, выясняется, что точка 6 более удалена от плоскости проекций П 2 , чем точка 5. Поэтому точка 6 и прямая DF, которой она принадлежит, видимы относительно плоскости проекций П 2 . Отсюда следует, что отрезок (К 2 -6 2) будет невидимым. Аналогично определяем видимость сторон АЛВС и ADEF - ВС и DF, т.е. отрезок (Ж 2 -8 2) будет невидимым.
Видимость ААВС и ADEF относительно плоскости проекций П j, устанавливается аналогично. Для определения видимости скрещивающихся прямых АС * DF и ВС ±DF относительно плоскости проекций П] через конкурирующие точки 9 1 = 10 1 и11 1 = 12 1 проводим проекционные линии связи перпендикулярно х п. По фронтальным проекциям этих конкурирующих точек устанавливаем, что проекции точек 10 2 и 12 2 более удалены от плоскости проекций П { . Следовательно, отрезки (А^-ЮД и (М г 2 1) будут невидимыми. Отсюда видимость ААВС и ADEF наглядно представлена на рис. 82.
В задаче необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и определить натуральную величину одной из них методом плоскопараллельного перемещения.
Для решения такой классической задачи по начертательной геометрии необходимо знать следующий теоретический материал:
— нанесение проекций точек пространства на комплексный чертеж по заданным координатам;
— способы задания плоскости на комплексном чертеже, плоскости общего и частного положения;
— главные линии плоскости;
— определение точки пересечения прямой линии с плоскостью (нахождение «точки встречи» );
— метод плоскопараллельного перемещения для определения натуральной величины плоской фигуры;
— определение видимости на чертеже прямых линий и плоскостей с помощью конкурирующих точек.
Порядок решения Задачи
1. Согласно варианту Задания по координатам точек наносим на комплексный чертеж две плоскости, заданные в виде треугольников ABC (A’, B’, C’; A, B, C) и DKE (D’, K’, E’; D, K, Е) (рис.1.1 ).
Рис.1.1
2 . Для нахождения линии пересечения воспользуемся методом проецирующей плоскости . Суть его в том, что берется одна сторона (линия) первой плоскости (треугольника) и заключается в проецирующую плоскость. Определяется точка пересечения этой линии с плоскостью второго треугольника. Повторив эту задачу еще раз, но для прямой второго треугольника и плоскости первого треугольника, определим вторую точку пересечения. Так как полученные точки одновременно принадлежат обеим плоскостям, они должны находиться на линии пересечения этих плоскостей. Соединив эти точки прямой, будем иметь искомую линию пересечения плоскостей.
3. Задача решается следующим образом:
а) заключаем в проецирующую плоскость Ф(Ф’) сторону AB (A ’ B ’) первого треугольника во фронтальной плоскости проекций V . Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами DK и DE второго треугольника, получая точки 1(1’) и 2 (2’) . Переносим их по линиям связи на горизонтальную плоскость проекций H на соответствующие стороны треугольника, точка 1 (1) на стороне DE и точка 2(2) на стороне DK .
Рис.1.2
б) соединив проекции точек 1 и 2 , будем иметь проекцию проецирующей плоскости Ф . Тогда точка пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника DKE определится (согласно правилу) вместе пересечения проекции проецирующей плоскости 1-2 и одноименной проекции прямой AB . Таким образом, получили горизонтальную проекцию первой точки пересечения плоскостей – M , по которой определяем (проецируем по линиям связи) её фронтальную проекцию – M ’ на прямой A ’ B ’ (рис.1.2.а );
в) аналогичным путем находим вторую точку. Заключаем в проецирующую плоскость Г(Г) сторону второго треугольника DK (DK ) . Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами первого треугольника AC и BC во горизонтальной проекции, получая проекции точек 3 и 4 . Проецируем их на соответствующие стороны в фронтальной плоскости, получаем 3’ и 4’ . Соединив их прямой, имеем проекцию проецирующей плоскости. Тогда вторая точка пересечения плоскостей будет в месте пересечения линии 3’-4’ со стороной треугольника D ’ K ’ , которую заключали в проецирующую плоскость. Таким образом, получили фронтальную проекцию второй точки пересечения – N ’ , по линии связи находим горизонтальную проекцию – N (рис.1.2.б ).
г) соединив полученные точки MN (MN ) и (M ’ N ’) на горизонтальной и фронтальной плоскостях, имеем искомую линию пересечения заданных плоскостей.
4. С помощью конкурирующих точек определяем видимость плоскостей. Возьмем пару конкурирующих точек, например, 1’=5’ во фронтальной проекции. Спроецируем их на соответствующие стороны в горизонтальную плоскость, получим 1 и 5 . Видим, что точка 1 , лежащая на стороне D Е имеет большую координату до оси x , чем точка 5 , лежащая на стороне A В . Следовательно, согласно правилу, большей координаты, точка 1 и сторона треугольника D ’Е ’ во фронтальной плоскости будут видимые. Таким образом, определяется видимость каждой стороны треугольника в горизонтальной и фронтальной плоскостях. Видимые линии на чертежах проводятся сплошной контурной линией, а не видимые — штриховой линией. Напомним, что в точках пересечения плоскостей (M — N и M ’- N ’ ) будет происходить смена видимости.
Рис.1.3
Р ис.1. 4 .
На эпюре дополнительно показано определение видимости в горизонтальной плоскости с использованием конкурирующих точек 3 и 6 на прямых DK и АВ .
5. Методом плоскопараллельного перемещения определяем натуральную величину плоскости треугольника ABC , для чего:
а) в указанной плоскости через точку С(С) проводим фронталь C — F (С- F и C ’- F ’) ;
б) на свободном поле чертежа во горизонтальной проекции берем (отмечаем) произвольную точку С 1 , считая, что это одна из вершин треугольника (конкретно вершина C ). Из нее восстанавливаем перпендикуляр к фронтальной плоскости (через ось х );
Рис.1.5
в) плоскопараллельным перемещением переводим горизонтальную проекцию треугольника ABC , в новое положение A 1 B 1 C 1 таким образом, чтобы в фронтальной проекции он занял проецирующее положение (преобразовался в прямую линию). Для этого: на перпендикуляре от точки С 1 , откладываем фронтальную проекцию горизонтали C 1 — F 1 (длина l CF ) получаем точку F 1 . Раствором циркуля из точки F 1 величиною F-A делаем дуговую засечку, а из точки C 1 — засечку величиной CA , тогда в пересечении дуговых линий получаем точку A 1 (вторая вершина треугольника);
— аналогично получаем точку B 1 (из точки C 1 делаем засечку величиной C — B (57мм), а из точки F 1 величиной F — B (90мм).Заметим, что при правильном решении три точки A 1 F ’ 1 и B ’ 1 должны лежать на одной прямой (сторона треугольника A 1 — B 1 )две другие стороны С 1 — A 1 и C 1 — B 1 получаются путем соединения их вершин;
г) из метода вращения следует, что при перемещении или вращении точки в какой-то плоскости проекций — на сопряженной плоскости проекция этой точки должна двигаться по прямой линии, в нашем конкретном случае по прямой параллельной оси х . Тогда проводим из точек A ’ B ’ C ’ фронтальной проекции эти прямые (их называют плоскостями вращения точек), а из фронтальных проекций перемещенных точек A 1 В 1 C 1 восстановим перпендикуляры (линии связи) (рис.1.6 ).
Рис.1.6
Пересечения указанных линий с соответствующими перпендикулярами дает новые положения фронтальной проекции треугольника ABC , конкретно A ’ 1 В’ 1 C ’ 1 который должен стать проецирующим (прямой линией), поскольку горизонталь h 1 мы провели перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (рис.1.6 );
5) тогда для получения натуральной величины треугольника достаточно его фронтальную проекцию развернуть до параллельности с горизонтальной плоскостью. Разворот осуществляем с помощью циркуля через точку А’ 1 , считая ее как центр вращения, ставим треугольник A ’ 1 В’ 1 C ’ 1 параллельно оси х , получаем A ’ 2 В’ 2 C ’ 2 . Как было сказано выше, при вращении точки, на сопряженной (теперь на горизонтальной) проекции они двигаются по прямым параллельным оси х . Опуская перпендикуляры (линии связи) из фронтальных проекций точек A ’ 2 В’ 2 C ’ 2 пересечения их с соответствующими линиями находим горизонтальную проекцию треугольника ABC (A 2 В 2 C 2 ) в натуральную величину (рис.1.7 ).
Рис. 1.7
У меня есть все готовые решения задач с такими координатами, купить можно
Цена 55 руб
, чертежи по начертательной геометрии из книжки Фролова Вы легко можете скачать сразу после оплаты или я вышлю Вам на почту. Они находятся в ZIP архиве в различных форматах:
*.jpg
– обычный цветной рисунок чертежа в масштабе 1 к 1 в хорошем разрешении 300 dpi;
*.cdw
– формат программы Компас 12 и выше или версии LT;
*.dwg и.dxf
— формат программы AUTOCAD, nanoCAD;
В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.
Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.
По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.
Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:
n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R
Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.
Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .
Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.
Пример 1
Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .
Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости
Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .
Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .
Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.
Рассмотрим решение примера
Пример 2
Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 (1 , - 1 , 0) и N 0 (0 , - 1 3 , 1) прямой линии пересечения плоскостей.
Решение
Начнем с точки М 0 . Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.
Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 (0 , - 1 3 , 1) . Получаем 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .
Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.
Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.
Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.
Приведем пример.
Пример 3
Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.
Решение
Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .
Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.
Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:
x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z
Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .
Тогда x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .
Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:
∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 - 0 · 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ · 3 - 0 · (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ
Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .
Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = - 7 - 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .
Это позволяет нам получить координаты искомой точки - 7 , 4 , 0 .
Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
Ответ : - 7 , 4 , 0
Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости
Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.
Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.
Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2
Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ - это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.
Пример 4
Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.
Решение
Плоскости x + 2 y - 3 z - 2 = 0 и x - z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , - 3 и n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →
Запишем ответ в координатной форме a → = - 2 , - 2 , - 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».
Ответ: a → = - 2 , - 2 , - 2
Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве
Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты некоторой точки прямой, а λ - параметр, принимающий произвольные действительные значения.
От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Рассмотрим написанное выше на примере.
Пример 5
Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , - 1 плоскости 2 x + y - z - 1 = 0 и n 2 → = (1 , 3 , - 2) плоскости x + 3 y - 2 z = 0:
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →
Координаты направляющего вектора прямой a → = (1 , 2 , 5) .
Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .
Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ:
2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R
Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:
∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) · 3 - 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 · λ
Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ
Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ
Ответ: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ
Данная задача имеет еще один способ решения.
Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .
Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
Применим данный способ к решению задачи.
Пример 6
Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.
Решение
Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .
Это параметрические уравнения прямой в пространстве.
Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1
Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.
Ответ: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Если две плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт уравнение прямой в пространстве .
То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:
Пример 9
Решение : Чтобы составить канонические уравнения прямой, необходимо знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….
1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике.
Выполним проверку: подставим координаты точки в исходную систему уравнений: . Получены верные равенства, значит, действительно .
2) Как найти направляющий вектор прямой? Его нахождение наглядно демонстрирует следующий схематический чертёж:
Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если , то вектор «пэ» найдём как векторное произведение
векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей снимаем их векторы нормали:
И находим направляющий вектор прямой:
Как проверить результат, рассматривалось в статье Векторное произведение векторов .
3) Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Ответ :
На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
Пример 10
Записать канонические уравнения прямой
Это пример для самостоятельного решения. Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот).
Полное решение и ответ в конце урока.
Во второй части урока мы рассмотрим взаимное расположению прямых в пространстве, а также разберём задачи, которые связаны с пространственными прямыми и точками. Терзают меня смутные ожидания, что материала будет прилично, поэтому лучше всё-таки сделать отдельную веб страницу.
Добро пожаловать: Задачи с прямой в пространстве >>>
Решения и ответы:
Пример 4: Ответы
:
Пример 6: Решение
: Найдём направляющий вектор прямой:
Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ
: («игрек» – любое)
:
Ответ
:
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α 1 и α 2:
Поскольку векторы n 1 и n 2 коллинеарны, то существует такое число λ ≠0, что выполнено равенство n 1 =λ n 2 , т.е. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .
Умножив уравнение (2) на λ , получим:
Если выполненио равенство D 1 =λ D 2 , то плоскости α 1 и α 2 совпадают, если же D 1 ≠λ D 2 то плоскости α 1 и α 2 параллельны, то есть не пересекаются.
2. Нормальные векторы n 1 и n 2 плоскостей α 1 и α 2 не коллинеарны (Рис.2).
Если векторы n 1 и n 2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:
где x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l действительные числа, а t − переменная.
Равенство (5) можно записать в следующем виде:
Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α 1 и α 2:
| α 1: x +2y +z +54=0. | (7) |
Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z . Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a 22 . Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:
Получим решение:
Получили уравнение линии пересечения плоскостей α 1 и α 2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.
Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α 1 и α 2 имеет вид:
| (15) |
α 1 имеет нормальный вектор n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 }={1, 2, 7}. Плоскость α 2 имеет нормальный вектор n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.
n 1 и n 2 коллинеарны (n 1 можно получить умножением n 2 на число 1/2), то плоскости α 1 и α 2 параллельны или совпадают.
α 2 умножив на число 1/2:
| (18) |
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α 1 имеет нормальный вектор n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 }={5, −2, 3}. Плоскость α 2 имеет нормальный вектор n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.
Поскольку направляющие векторы n 1 и n 2 коллинеарны (n 1 можно получить умножением n 2 на число 1/3), то плоскости α 1 и α 2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α 2 умножив на число 1/3:
| (19) |
Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α 1 и α 2 совпадают.