Применение интегрального исчисления в механике. Особенности применения интегралов

Просмотр содержимого документа
«МР комбинированного занятия для преподавателя "Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл".»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ

«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

комбинированного занятия для преподавателя

ДИСЦИПЛИНА "МАТЕМАТИКА"

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.6. Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл

Специальность

060101 Лечебное дело

Курс – первый

Методический лист

Формирование требований ГОС при изучении темы

« Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл»

должен знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основные математические методы решения прикладных задач;

основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате изучения темы обучающийся должен уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

Цели занятия:

Образовательные цели: повторить и закрепить навыки вычисления неопределенного и определенного интеграла, рассмотреть методы вычисления определенных интегралов, закрепить навык нахождения определённого интеграла

Воспитательные цели : содействовать формированию культуры общения, внимания, интереса к предмету, способствовать пониманию студентом сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявления к ней устойчивого интереса.

Развивающие цели:

способствовать

формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Вид занятия : комбинированное занятие

Продолжительность занятия : 90 минут

Межпредметные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат

Литература:

Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410, с. – (Медицина)

Математика: учеб. пособие / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).

Оснащение занятия:

Раздаточный материал

Ход занятия

№ п/п	Этап урока	Время (мин)	Методические указания
	Организационная часть		Проверка посещаемости и внешнего вида студентов. Сообщение темы, цели и плана занятия.
	Мотивация		Понятие интеграла является одним из основных в математике. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики. Необходимость полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления связана с огромной значимостью и важностью этого материала при освоении профессиональной образовательной программы. В дальнейшем вам пригодятся знание определённого интеграла при нахождении решения уравнений определяющих скорость радиоактивного распада, размножения бактерий, сокращении мышцы, растворении лекарственного вещества в таблетке и многих других задач дифференциального исчисления применяемых в медицинской практике.
	Актуализация опорных знаний		Необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов (Приложение 1)
	Изложение нового материала		План изложения (Приложение 2) Определённый интеграл Свойства определённого интеграла Формула Ньютона-Лейбница Вычисление определенных интегралов различными методами Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Вычисление площади плоской фигуры
	Практическая часть Выполнение упражнений для закрепления материала темы		(Приложение 3) Первичное закрепление полученных знаний и умений Осмысление полученных знаний и умений
	Подведение итогов занятия		Выставление оценок, комментируя ошибки, сделанные в ходе работы
	Домашнее задание		Подготовить теоретический материал к практическому занятию и выполнить задачи раздела «Самоконтроль» (Приложение 4)

Приложение 1

Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант

I .

II .

2 вариант

I. Вычислить неопределённые интегралы

II . Назвать метод вычисления интегралов

Приложение 2

Информационно-справочный материал

Определённый интеграл

Понятие интеграла связано с обратной задачей дифференцирования функции. Понятие определенного интеграла удобно рассматривать на решении задачи о вычислении площади криволинейной трапеции.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной с двух сторон перпендикулярами, восстановленными в точках а и b , сверху непрерывной кривой у = f (х) и снизу осью Ох , разобьем отрезок [а, b ] на небольшие отрезки:

a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b .

Восстановим перпендикуляры из этих точек до пересечения с кривой у = f (х) . Тогда площадь всей фигуры будет примерно равна сумме элементарных прямоугольников, имеющих основание, равное  х i = х i -х i -1 , а высоту, равную значению функции f (х) внутри каждого прямоугольника. Чем меньше величина  х i , тем точнее будет определяться площадь фигуры S . Следовательно:

Определение. Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b ] и выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а, b ] и обозначают:

где f (x ) ‑ подынтегральная функция, х ‑ переменная интегрирования, а и b - пределы интегрирования (читается: определенный интеграл от a д o b эф от икс де икс).

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла связан с определением площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией у = f (х) , снизу осью Ох , а по бокам ‑ перпендикулярами, восстановленными в точках а и b .

Процесс вычисления определенного интеграла называют интегрированием. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Если пределы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю:



Если переставить пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:



Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:



Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f 1 (x ), f 2 (x )... f n (x ), заданных на отрезке [а, b ], равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:



Если функция всегда положительна, либо всегда отрицательна на отрезке [а, b ], то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция:

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Теорема. Величина определенного интеграла от функции f (х) на отрезке [а, b ] равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

Из этой теоремы следует, что определенный интеграл есть число, в то время как неопределенный ‑ совокупность первообразных функций. Таким образом, согласно формуле для нахождения определенного интеграла необходимо:

1. Найти неопределенный интеграл от данной функции, положив С = 0.

2. Подставить в выражение первообразной вместо аргумента х сначала верхний предел b , затем нижний предел а, и вычесть из первого результата второй.

Вычисление определенных интегралов различными методами

При вычислении определенных интегралов используют методы, рассмотренные для нахождения неопределенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод основан на использовании табличных интегралов и основных свойств определенного интеграла.

ПРИМЕРЫ:

1) Найти

Решение:

2) Найти

Решение:

3) Найти

Решение:

Метод замены переменной интегрирования

ПРИМЕР:

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную

u =3 x ‑ 1 , тогда du = 3 dx , dx = . При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен и b = 32 ‑ 1 = 5 , нижний ‑ и а =31 ‑ 1 = 2 . Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

ПРИМЕР:

1) Найти

Решение:

Пусть u = ln x , dv = xdx , тогда

Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Вычисление площади плоской фигуры

Ранее было показано, что определенный интеграл можно использовать для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком функции у = f (x ), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b .

Если функция у = f (x ) находится ниже линии абсцисс, т.е. f (x )

Если функция у = f (x ) несколько раз пересекает ось Ох , то необходимо отдельно найти площади для участков, когда f (x ) 0, и сложить их с абсолютными величинами площадей, когда функция f (x )

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью Ох на участке 0  х  2.

Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:

S = S 1 + | S 2 |,

где S 1 - ; площадь при у 0 ; S 2 - площадь при у 0.

S=2 + 2 = 4 кв.ед.

ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = х 2 , осью Ох и прямыми х = 0, х = 2.

Решение. Построим графики функций у = х 2 и х = 2.

Заштрихованная площадь и будет искомой площадью фигуры. Так как f (x ) 0,то

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая у = f (х) на отрезке [а, b ] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой находится по формуле:

ПРИМЕР

Найти длину дуги кривой y 2 = x 3 на отрезке (y0)

Решение

Уравнение кривой y = x 3/2 , тогда y’ = 1,5 x 1/2 .

Сделав замену 1+получим:

Вернёмся к первоначальной переменной:

Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f (x ) и прямыми х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох , то объём вращения вычисляется по формуле:

ПРИМЕР

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох полуволной синусоиды
y = sin x , при 0≤ х≤ .

Решение

Согласно формуле имеем:

Для вычисления этого интеграла сделаем следующие преобразования:

Приложение 3

Первичное закрепление изученного материала

1. Вычисление определённых интегралов

2. Приложения определённого интеграла

Площадь фигуры

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Путь, пройденный телом (точкой) при прямолинейном движении за промежуток времени от t 1 до t 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за 10с от начала движения.

Скорость движения точки изменяется по закону v =6 t 2 +4 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.

Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v =6 t 2 +2 t (м/с), второе
v =4 t +5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

Приложение 4

Самоконтроль по теме

«Определённый интеграл и его применение»

1 вариант 1. Вычислите интегралы 2. y = - x 2 + x + 6 и y = 0 3. Скорость движения точки изменяется по закону v =9 t 2 -8 t (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за четвёртую секунду от начала движения.

2 вариант 1. Вычислите интегралы 2. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y = - x 2 + 2 x + 3 и y = 0 3. Скорость движения точки изменяется по закону v = 8 t - 3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за пять секунд от начала движения.

Обобщающий урок по теме:

«Интеграл и его применение».

Эпиграф: ««Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

Джордж Сантаяна.

Цели урока:

Общеобразовательные: закрепить, повторить и обобщить знания, полученные при изучении темы: «Интеграл и его применение», закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, рассмотреть практическое применение данной темы в физике, геометрии и в профессии «Экономика и бухгалтерский учёт», подготовиться к практической работе.

Развивающие: развивать способности к реализации возможностей и потенциала в креативной деятельности; выработка навыков принятия творческих решений.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, ответственного отношения к делу, готовность к взаимопомощи.

Форма проведения урока: урок – проблемная конференция.

Тип урока: «Повторительно – обобщающий».

Оснащение урока: мультимедиапроектор, компьютеры, компьютерная программа «Вычисление определённого интеграла», калькуляторы, плакат «Таблица первообразных», папки «Учись учиться», тесты, карточки с практическими заданиями.

Межпредметные связи:

Физика : «Вычисление работы, производимой телом», «Вычисление пути, пройденного телом».

Геометрия: «Вычисление объёмов и площадей тел вращения».

Связь с профессией: задачи с экономическим содержанием.

План урока.

Орг. момент – 2 мин.

Проведение конференции – 40 мин.

а) Выступление историков;

б) Выступление математиков;

в) Выступление физиков;

г) Выступление бухгалтеров;

д) Выступление программистов.

Подведение итогов – 2 мин.

Домашнее задание – 1 мин.

Ход урока.

Вступительное слово учителя:

Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Интеграл и его применение».

Эпиграфом к этому уроку могут служить слова американского философа Джорджа Сантаяна: «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

И сегодня на уроке мы ещё раз убедимся в справедливости этого высказывания.

Цель нашего урока не только обобщить знания, полученные при изучении этой темы, закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, но и расширить представления о практическом применении интеграла, показать значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. И как окончательный итог изучения темы – практическая работа.

Тема эта очень обширная, но большинство вопросов мы с вами уже рассмотрели на предыдущих уроках, мы проводим урок в виде «проблемной конференции».

На конференции обычно приглашаются специалисты, занимающиеся разработкой смежных тем.

В нашей конференции принимают участие несколько специалистов:

* историки;

* математики;

* экономисты;

*программисты.

Это студенты вашей группы, которые получили домашнее задание – собрать, систематизировать материал по конкретному вопросу, может быть найти дополнительный материал, который мы не изучали.

На нашем уроке так же присутствует студентка 3-го курса по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Беляева Анна. Она не только помогает продемонстрировать нам слайды на экране, но и приняла активное участие в работе нашей конференции в качестве специалиста-программиста.

В ходе нашей конференции все присутствующие могут задавать вопросы выступающим и принимать активное участие в её работе.

И так, начинаем работу конференции:

Слово имеет историк, который расскажет нам о возникновении интегрального исчисления. (см. приложение 1)

Вопрос учителя: В твоём выступлении прозвучало два подхода к определению определённого интеграла. Какой подход мы использовали для введения понятия определённого интеграла на уроках?

Так ли это мы поймём, прослушав выступление математика. (см приложение 2)

Слово учителя:

Прослушав это сообщение, каждый из вас освежил в памяти вес теоретический материал, который нам понадобится для успешного выполнения практической части нашей конференции.

У вас на столах лежат задания, которые вы должны выполнить в ходе нашей конференции. Вы можете выполнять их вместе с группой или самостоятельно.

Пример 1.

Вычислить интеграл

а) ∫ (6х 2 +4х-5) d х=(6·х 3 /3+4·х 2 /2-5х) =(2·3 3 +2·3 2 -5·3)-(2·1 3 +2·1 2 -5·1)=

=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58

б) ∫ (cos 3х+ sin ½х) d х=(-⅓ sin 3х+2 cos ½х) =

π/2 π/2

=(-⅓ sin 3π+2 cos ½π)-(-⅓ sin 3π/2+2 cos ½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)

=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)у=-(х+2) 2 +3, у=0.

Решение:

Графиком функции у=-х 2 +9 является парабола, ветви которой направлены вниз, координаты вершины параболы (0;9).

Графиком функции у=0 является ось Ох.

Построим графики этих функций в одной системе координат.

3 0 3 х

Найдём координаты точек пересечения графиков функций, для этого решим уравнение:

-х 2 +9=0

-х 2 =-9

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

S = ∫(- х 2 +9) d х=(-х 3 /3+9х)=(-(3) 3 /3+9·3)-(-(-3) 3 /3+9·(-3)=

-3 -3

= 18-(-18)=36 (кв.ед)

Ответ: S =36 кв.ед.

Слово учителя:

Я надеюсь вы вспомнили как вычисляется определённый интеграл. Сейчас я предлагаю проверить себя и ответить на вопросы теста.

После выполнения работы, студенты проверяют правильность выполнения теста, используя предлагаемые критерии оценки. (см. приложение 3)

Слово учителя:

Определённый интеграл широко применяется не только в математике, но и в физике, геометрии, химии. Об этом нам расскажет физик. (см. приложение 4)

Слово учителя:

Мы опять возвращаемся к практической части нашей конференции, я предлагаю вам решить задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Сила упругости пружины, растянутой 5 см , равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F=kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности. На рис а) точка 0 соответствует свободному положению пружины. Из условия задачи следует, что 3=k·0,05. Следовательно, k=60 и сила F=60х, а по формуле находим:

0,05 0,05

А= ∫ 60х d х=30х 2 =30·0,05 2 -30·0 2 =0,075 Дж.

0 0

Ответ: А=0,075 Дж.

Задача 2.

Найти путь, пройденный материальной точкой за 10с от начала движения со скоростью v =0,1 t 3 м/с.

Решение: t 2

Т.к. t 1 =0 и t 2 =10, то подставив в формулу S = ∫ v ( t ) dt , получим

t1

S=∫0,1t 3 dt=0,1t 4 /4 =250м.

Ответ: S=250м.

Слово учителя:

Мы убедились с вами, в том, что интеграл имеет широкое применение в физике. А нельзя ли решать задачи с экономическим содержанием с помощью определённого интеграла? На этот вопрос ответит специалист по экономическим вопросам. (см. приложение 5)

Слово учителя:

И так, с помощью интеграла можно решать экономические задачи.

Задача.

Производительность труда рабочего в течении дня задаётся функцией f (t )=-0,00625 t 2 +0,05 t +0,5 (ден. ед/ч.) , где t – время в часах от начала работы,0≤ t ≤8. Найти функцию Q (t ), выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Применяя формулу, получим:

Q = ∫ (-0,00625 t 2 +0,05 t +0,5) dt =-0,00625 t 3 /3+0,05 t 2 /2+0,5 t =

=(-0,00625·8 3 /3+0,05·8 2 /2+0,5·8)-(-0,00625·0 3 /3+0,05·0 2 /2+0,5·0)=

=-3,2/3+1,6+4≈4,53(ден.ед)

Ответ: Q≈4,53 ден.ед.

Слово учителя:

Мы убедились в истинности высказывания Джорджа Сантаяна. Действительно, многие науки и профессии стремятся к математики. Но всё же нам приходится выполнять иногда достаточно сложные вычисления. Можно ли решить эту задачу?

Наверное – да. В век компьютерных технологий и эту задачу можно успешно решить. Слово программисту - Беляевой Анне.

Выступление программиста:

Я составила компьютерную программу: «Вычисление определённого интеграла». Эта программа позволяет за считанные секунды вычислить значение интеграла и экономит наше время.

(демонстрация программы см. приложение 6)

Слово учителя:

Первая подгруппа занимает места у компьютеров, а вторая – остаётся на местах. Решая одну и туже задачу, мы убедимся в преимуществе компьютерной программы.

(студенты решают задачу, используя компьютерную программу)

Подведём итоги урока - мы обобщили знания, полученные при изучении этой темы, закрепили практические навыки вычисления определённого интеграла, расширили представления о практическом применении интеграла, показали значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. Увидели плюсы применения компьютерных технологий при решении математических задач, и, надеюсь, подготовились к практической работе.

Задачи, которые остались нерешёнными, необходимо решить дома.

Выставление оценок.

Приложение 1.

Выступление историка:

Я попыталась собрать историческую информацию о возникновении интегрального исчисления. Для этого я обратились к изучению жизни и творчества таких учёных как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Бернулли, Чебышев. Каждый из них сыграл определённую роль в деле развития интегрального исчисления.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками древней Греции, Евклидом и Архимедом.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений основываются на идеях, сформулированных в начале XVII века великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер, готовясь к свадьбе, приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти общие, а главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального исчисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созда­нием математического аппарата, с помощью ко­торого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические задачи. До Ньютона многие функ­ции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представ­ления функции - он ввел в математику и на­чал систематически применять бесконечные ряды.

Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

где F ` (x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона.

Дальнейшее развитие теории дифференциального исчисления получило в работах Леонарда Эйлера.

Работы Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа, был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.

Хочется назвать ещё одно имя: Иоганн Бернулли.

Роль Иоганна Бернулли, как одного из создателей, распро­странителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа, отражает современная термино­логия: название «интегральное исчисление» (от латинско­го integer - целый), ввел Иоганн Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впослед­ствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S- первую букву латинского сло­ва summa .

Приложение 2.

Выступление математика:

Как мы уже услышали из предыдущего выступления, то подход к понятию определённого интеграла был разный. Одной из главных задач интегрального исчисления является нахождение первообразной.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F ´(х)= f (х).

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных)

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F (х)+С,

Где F (х) – одна из первообразных для функции f (х) на промежутке I , а С – произвольная постоянная.

Для нахождения первообразных мы использовали таблицу:

Функция f(х)	Первообразная F(х)

Так же существуют три правила нахождения первообразных:

Правило 1 . Если F f , а G – первообразная для g , то F + G есть первообразная для f + g .

Правило 2 . Если F есть первообразная для функции f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .

Правило 3 . Если F (х) - есть первообразная для функции f (х), а k и b – постоянные, причём k ≠0, то 1/ k · F (k х+ b ) есть первообразная для f (k х+ b ).

Выражение F (х)+С называется неопределённым интегралом

∫ f (х) d х= F (х)+С

Понятие определённого интеграла связано с задачей вычисления площади криволинейной трапеции.

Фигуру, ограниченную графиком функции f (х), непрерывной и не меняющей знак на отрезке [а; b ], отрезком[а; b ] и прямыми х=а и х= b называют криволинейной трапецией .

а) у b) у

0 а b х 0 а b х

в) г)

a 0 b x

a 0 b х

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b ]функция, а F – первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а; b ], т.е. S = F ( b )- F (а).

Для любой непрерывной на отрезке [а;b] функции f (не обязательно неотрицательной) S стремиться к некоторому числу. Это число называют интегралом функции f от а до b и обозначают:

b

∫ f (х) d х

а

a , b – пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел);

f – подынтегральная функция;

х – переменная интегрирования;

∫ - знак интеграла.

b

∫ f (х) d х= F ( b )- F (а) – формула Ньютона-Лейбница .

а

Для удобства записи разность F ( b )- F (а) принято сокращённо обозначать

b

F (х)|

а

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают в виде:

b b

∫f (х) d х= F (х)|

а а

Исходя из выше сказанного, площадь криволинейной трапеции вычисляют с помощью определённого интеграла, а для вычисления определённого интеграла необходимо уметь вычислять первообразную.

Приложение 3.

Тест.

Вариант 1.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство:__________________________________________________.

Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

4.

а) S=∫(х 2 -5)dх; б) S=∫(х 2 +11)dх; в) S=∫(5-х 2)dх.

5. Найдите истинные равенства.

Тест.

Вариант 2.

Запишите основное свойство первообразной.

Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Запишите с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке:

4. С помощью какой формулы вычисляется площадь данной фигуры?

а) S=∫(-х 2 -5)dх; б) S=∫(-х 2 +3)dх; в) S=∫(5-х 2)dх.

5. Найдите истинные равенства.

а) ∫х 3 dх=3х

Ответы на вопросы теста.

Вариант 1.

∫f(х)dх=F(b)-F(а).

3. S=∫(-х 2 +4х)dх.

4. в) S=∫(5-х 2)dх.

Вариант 2.

3. S=∫(3х+3)dх.

4. б) S=∫(-х 2 +3)dх.

5. б) ∫хdх=2.

Критерий оценки выполнения теста:

за 5 правильно выполненных задания – оценка «5»

за 4 правильно выполненных задания – оценка «4»

за 3 правильно выполненных задания – оценка «3»

за 1-2 правильно выполненных задания – оценка не ставится, вам требуется дополнительная консультация.

Приложение 4.

Выступление физика.

Определённый интеграл широко применяется при решении физических задач. Например, для вычисления работы силы, пути, пройденного материальной точкой.

1. Работа переменной силы.

Работу А, произведённую переменной силойf (х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=b, находят по формуле:

b

А= ∫ f (х) d х

а

Для нахождения силы, действующей на тело, применяют закон Гука: F=kх, где k – коэффициент пропорциональности.

2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Если точка движется по некоторой линии, и её скорость v=f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле:

t 2

S = ∫ v ( t ) dt

t 1

Определённый интеграл также применяется при:

вычислении объёмов тел вращения в геометрии;

нахождении центра масс в физике;

Приложение 5.

Выступление экономиста:

На уроках «Введение в специальность» мы познакомились с такими экономическими понятиями, как – производительность труда и объём выпускаемой продукции. Эти понятия раскрывают экономический смысл интеграла.

Если f (t ) – производительность труда в момент t , то

T

Q = ∫ f ( t ) dt

0

есть объём выпускаемой продукции за промежуток .

Приложение 7.

Практические задания.

Вычислить интеграл.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

а) у=х 2 +4; у=5;

б) 0,5х+2; у=-х+5.

3.Задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 м/с . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Задача 2.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила 10 Н.

Задача 3.

Точка движется прямолинейно со скоростью v (t )=6 t 2 -4 t -1. Найдите закон дви- жения точки, если в момент времени t=1с координата точки была равна 4 м.

Задачи с экономическим содержанием.

Задача 1.

Производительность труда рабочего в течение дня задаётся формулой f (t )=0,00625 t 4 +0,05 t +0,5 ден. ед./ч., где t – время в часах от начала работы, т.е. 0≤t≤8. Найти функцию Q(t) – объём продукции и его величину за рабочий день.

Задача 2.

На складе запас некоторого товара равен 100 ед., а ежедневно поступающий товар выражается формулой f (t )=22-0,5 t +0,06 t 2 , где t- количество дней. Определить количество товара через 40 дней.

Задачи для решения на компьютере.

Задача 1.

Производительность труда рабочих в технической смене при выпуске штангенциркулей определяется формулой f (t )=2,53 t 2 , где t – рабочее время в часах. Вычислить объём выпускаемой продукции за 6 часов рабочего времени.

Задача 2.

Рост населения Воронежской области описывается функцией f (t )=35825 t 2 , где t – время в годах. Определить прирост населения через 15 лет.

Интегральное исчисление возникло в связи с решением задач определения площадей и объёмов. За 2000 лет до н.э. жители Египта и Вавилона уже умели определять приближённо площадь круга и знали правило для вычисления объёма усечённой пирамиды. Теоретическое обоснование правил вычисления площадей и объёмов впервые появились у древних греков. Философ-материалист Демокрит в V веке до н.э. рассматривает тела, как состоящие из большого числа малых частиц. То есть конус представляет собой множество весьма тонких цилиндрических дисков разных радиусов. Огромную роль в истории интегрального исчисления сыграла задача о квадратуре круга (квадратура круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга) . Точную квадратуру нескольких криволинейных фигур нашёл Гиппократ (середина V века).

Первым известным методом для вычисления интеграла является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.). Он пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, использовался для расчета площадей парабол и приближенного расчета площади круга. В своем сочинении «Квадратура параболы» Архимед пользуется методом исчерпывания для вычисления площади сектора пара­болы. Т.е. Архимед впервые составляет суммы, которые в наше время называются интегральными суммами. Первые значимые попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом, были предприняты в XVII веке, когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой стороны – всё более интенсивно развивались экономика, техника, естествознание, а там требовались обширные и глубокие методы изучения и вычисления величин.

При вычислении площади криволинейной трапеции Ньютон и Лейбниц приходят к понятию первообразной (или примитивной) функции для данной производной функции f (х), где С могло быть любым. Та к называемая сегодня формула Ньютона-Лейбница позволяет сводить довольно сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение пределов интегральных сумм, к сравнительно простой операции отыскания первообразных. Лейбницу принадлежит символ дифференциала а п озже появился и символ интеграла Символ определённого интеграла ввёл Ж. Фурье, а термин «интеграл» (от латинского integer - целый) был предложен И. Бернулли.

Работы по исследованию основ дифференциального и интегрального исчислений начинаются в XIX веке трудами О. Коши и Б. Больцано. Тогда же в развитие интегрального исчисления внесли значительный вклад русские учёные-математики М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский, В.Я. Чебышев. Это было время, когда современный математический анализ только создавался. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, а Эйлер объединил обширный, но разрозненный материал нового анализа в цельную науку.

Со временем, человек приобретал все большую власть над природой, но мечта о полете к звездам оставалась все такой же несбыточной. Писатели-фантасты упоминали ракеты для осуществления космического полета. Однако эти ракеты были технически необоснованной мечтой. Честь открыть людям дорогу к звёздам выпала на долю нашего соотечественника К. Э. Циолковского. Над задачами по созданию искусственного спутника Земли, расчётов траектории выхода их на орбиту работала целая плеяда ученых, во главе с С.П. Королёвым.

Особенно интересны задачи, являющиеся прообразом задач на расчёты траекторий выхода космических аппаратов на заданную орбиту, на нахождение высоты и скорости подъёма или спуска тела и некоторые другие задачи с использованием интегрального исчисления.

Задача 1 . Скорость прямолинейного движения тела задана

уравнением . Найти уравнение пути S, если за время t = 2сек тело прошло 20м.

Решение : откудаИнтегрируем: откуда Используя данные найдём С = 4. Т.е. уравнение движения тела имеет вид .

При полете в космос, надо учесть все факторы окружающей нас среды, и чтобы попасть куда нужно, требуется рассчитать траекторию движения, используя исходные данные. Всё это нужно сделать перед тем, как совершится полёт. В 2016 году исполняется 55 лет со дня полёта на орбиту первого космонавта Юрия Алексеевича Гагарина. При расчётах приходилось решать и такие задачи.

Задача 2 . Необходимо запустить ракету весом Р = 2·10 4 Н(Т) с поверхности Земли на высоту h = 1500 км. Вычислить работу необходимую для её запуска.

Решение. f – сила притяжения тела Землёй есть функция от его расстояния х до центра Земли: , где На поверхности Земли где сила притяжения равна весу тела Р , а х = R - радиус Земли, поэтомуи При подъёме ракеты с поверхности Земли на высоту h переменная х изменяется от x = R до x = R + h . Искомую работу находим по формуле: Тогда получаем: работа для запуска ракеты равна

Задача 3 . Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см . Какую работу она

совершает при этом?

Решение . По закону Гука, сила F , растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = кх. Из условия задачи

к= 10/0,02(Н/м), то F = 500х . Работа: .

Задача 4 . Из шахты глубиной l = 100 м надо поднять равномерно клеть весом Р 1 = 10 4 Н , которая висит на канате, намотанном на барабан. Вычислить полную работу А полн , необходимую для поднятия клети, если вес одного погонного метра каната Р 2 = 20 Н .

Решение . Работа по поднятию клети: а по поднятию каната пропорциональна весу каната, т.е. Следовательно, полная работа полна:

Задача 5 . Рессора прогибается под действием силы 1,5·10 4 Н на 1см. Какую работу надо затратить для деформации рессоры на 3 см? (Деформирующая сила пропорциональна прогибу рессоры.)

Решение . F =кх, где х - прогиб рессоры. При х = 0,01м имеем: . Тогда работа для деформации равна:

Сложен и небезопасен подъём в космическое пространство, но не менее трудностей таит возвращение на Землю, когда аппарат космического корабля должен приземлиться со скоростью не более 2 м/с. Только в этом случае аппарат, приборы в нём, а главное, члены экипажа, не испытают резкого жёсткого удара. Константин Эдуардович Циолковский решил использовать торможение космического корабля воздушной оболочкой Земли. Двигаясь со скоростью 8 м/с, космический аппарат не падает на Землю. Первая стадия спуска - включение на короткое время тормозного двигателя. Скорость уменьшается на 0,2 км/с, и сразу начинается спуск. Рассмотрим пример решения задачи на составление закона движения при заданных условиях.

Задача 6 . Найти закон движения свободно падающего тела при постоянном ускорении g, если в момент движения тело находилось в покое.

Решение: Известно, что ускорение прямолинейно движущегося тела есть вторая производная пути S по времени t , или производная от скорости по времени t : , но , следовательно, , откуда . Интегрируем: , и Из условия: , откуда найдём и скорость движения: . Найдём закон движения тела: , или . Интегрируем: , . По начальным условиям: , откуда найдём Имеем уравнение движения падающего тела: - это знакомая формула физики .

Задача 7 . Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

Найти уравнение движения этого тела (сопротивлением воздуха пренебречь).

Решение: Примем: направление по вертикали вверх - за положительное, а ускорение силы тяжести, как направленное вниз, - за отрицательное. Имеем: , откуда . Интегрируем: то . Т.к. и то С 1: и Уравнение скорости: Находим закон движения тела: т.к. и тогда откуда .Интегрируем: или При и найдём , и Имеем уравнение движения тела: или .

Следующий пример показывает расчет траектории сброса отработанных секций, ненужных приборов, материалов. В этом случае их отправляют на Землю, рассчитав орбиту так, чтобы при прохождении через атмосферные слои они сгорели, а несгоревшие остатки упали на Землю (чаще всего - в океан), не причинив при этом вред.

Задача 8 . Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3) и имеющую касательную с угловым коэффициентом .

Решение: В условии задачи дано: или Интегрируя, имеем: При х = 2 и у = -3, С = - 5 , а траектория движения имеет вид: .

Строителям иногда приходится решать задачи по вычислению площадей необычных фигур, для которых нет общеизвестных формул. В этом случае снова выручают интегралы.

Задача 9 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и

Решение : Выполним построение чертежа (рис. 1), для чего решим систему уравнений. Найдём точки пересечения линий: А(-2;4 ) и В(4;16) . Искомая площадь представляет собой разность площадей с пределами интегрирования, а = х 1 = -2 и в = х 2 = 4. Тогда имеем площадь:

.

Космонавты и ученые, работая на орбитальной станции, для чистоты эксперимента решают и исследуют многие вопросы астрономии, физики, химии, медицины, биологии и т.д. Сопроводим следующую задачу литературным примером. В известном фантастическом романе Герберта Уэллса «Война миров» описывается нападение марсиан на планету Земля, которые решили расширить свои перенаселённые территории за счёт захвата наших, т.к. климатические условия Земли были подходящими. Начался захват территории и уничтожение землян, которые получили помощь оттуда, откуда совсем не ожидали. Наши «родные» бактерии, с которыми мы уже научились бороться, попав в организм марсиан с воздухом, пищей, водой, нашли в нём благоприятную среду для своего развития и размножения, быстренько адаптировались и, уничтожив марсиан, избавили Землю от захватчиков. Рассмотрим решение задачи, дающей понятие об этом.

Задача 10. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5ч. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Решение: Пусть x (t ) есть количество бактерий в момент времени t, а в начальный момент тогда скорость их размножения. По условию имеем: или след.: Найдём С: и функция Известно, чтот.е. или откуда коэффициент пропорциональности равен: а функция имеет вид: .

В знаменитом романе А.Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» хотелось бы почувствовать, ощутить, что же это такое – гиперболоид? Какие у него размеры, форма, поверхность, объём? Следующая задача – об этом.

Задача 11. Гипербола , ограниченная линиями: у = 0, х = a , х = 2а вращается вокруг оси ОХ. Найти объём полученного гиперболоида (рис.2).

Решение. Используем формулу для вычисления объёма тел вращения вокруг оси ОХ с помощью определённого интеграла:

Учёные-уфологи занимаются изучением фактов, которые приводят «очевидцы», рассказывая о том, что видели летящий космический корабль в виде огромного светящегося диска («тарелки»), примерно такой формы как на рисунке 3. Рассмотрим решение задачи по определению объёма такой «тарелки».

Задача 12 . Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ площади, ограниченной линиями у = х 2 - 9 и у = 0 .

Решение : При выполнении чертежа параболоида (рис.3) имеем пределы интегрирования от х = -3 до х = 3 . Заменим пределы интегрирования в силу симметричности фигуры относительно оси ОУ на х = 0 и х = 3 , а результат удвоим. Следовательно, объём диска равен:

Экономический смысл определённого интеграла выражает объём произведённой продукции при известной функции f (t ) - производительности труда в момент t . Тогда объём выпускаемой продукции за промежуток вычисляется по формуле Рассмотрим пример для предприятия.

Задача 13 . Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид

Решение . Объём произведённой предприятием продукции равен:

Подводя итоги можно сделать вывод, что применение интеграла раскрывает большие возможности. При изучении геометрии рассматривают вычисление площадей плоских фигур ограниченных отрезками прямых (треугольников, параллелограммов, трапеций, многоугольников), и объёмов тел, полученных при их вращении. Определённый интеграл позволяет вычислять площади сложных фигур, ограниченных любыми кривыми линиями, а также находить объёмы тел, получаемых при вращении криволинейных трапеций вокруг любой оси.

Также хочется отметить, что применение определенного интеграла не ограничивается только вычислением различных геометрических величин, но используется и при решении задач из различных областей физики, аэродинамики, астрономии, химии и медицины, космонавтики, а также, экономических задач.

Список литературы :

1. Апанасов, П.Т. Сборник задач по математике: учеб. пособие/ П.Т. Апанасов, М.И. Орлов. - М.: Высшая школа, 1987.- 303 с.
2. Беденко, Н.К. Уроки по алгебре и началам анализа: методическое пособие/ Н.К. Беденко, Л.О. Денищева. - М.: Высшая школа, 1988. - 239 с.
3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по высшей математике: учеб. пособие/ Н.В. Богомолов. - М.: Высшая школа, 1973.- 348 с.
4. Высшая математика для экономистов: учебник/ под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 479 с.
5. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учеб. пособие/ Г.И. Запорожец.- М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

Слайд 2

Историческая справка

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, т.е. задачами на вычисление площадей. Вычислениями площадей поверхностей и объемов тел занимались еще математики Древней Греции и Рима. Первым европейским математиком, получившим новые формулы для площадей фигур и объемов тел, был знаменитый астроном И. Кеплер. После исследований ряда ученых (П.Ферма, Д.Валлиса) И. Барроу открыл связь между задачами отыскания площадей и проведением касательной (т.е. между интегрированием и дифференцированием). Исследование связи между этими операциями, свободное от геометрического языка, было дано И.Ньютоном и Г. Лейбницем. Современное обозначение интеграла восходит к Лейбницу, у которого оно выражало мысль, что площадь криволинейной трапеции есть сумма площадей бесконечно тонких полосок шириной d и высоты f(x). Сам знак интеграла является стилизованной латинской буквой S (summa). Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.

Слайд 3

Краткая история интегрального исчисления

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение площадей, а также объемов тел связаны с именем Архимеда(287-212 до н. э.) Развивая идеи предшественников Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сферах», он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема конуса и цилиндра. Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих фигур с кривыми границами и объемы многих тел. А общая теория была создана во второй половине XVII в. в трудах великого английского математика Иссака Ньютона(1643-1716) и великого немецкого математика Готфрида Лейбница(1646-1716). Ньютон и Лейбниц являются основателями интегрального исчисления. Они открыли важную теорему, носящую их имя: где f(x) – функция, интегрируемая на отрезке , F(x) – одна из ее первообразных. Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовершенны с точки зрения современного математического анализа. В XVIII в. крупнейший представитель математического анализа Леонард Эйлер эти понятия обобщил в своих трудах. Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия интегрального исчисления. Обычно при этом отмечают заслуги французского математика Огюстена Коши и немецкого математика Георга Римана. Само слово интеграл придумал Я.Бернулли(1690г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. В1696г. появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И.Бернулли. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Обозначение определенного интеграла ввел Иосиф Бернулли, а нижние и верхние пределы Леонард Эйлер.

Слайд 4

Неопределенный интеграл

Математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня. Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(х) находить ее производную F´(х). Существует действие, обратное дифференцированию – это интегрирование – нахождение функции F(х) по известной ее производной f(x) = F´(х)или дифференциалу f(x)dx. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x), если F´(х) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.Если функция f(x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все ее первообразные содержатся в выражении F(х) +С, где С – постоянная. Неопределенным интегралом от функции f(x)(или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение ∫f(x)dx = F(х) +С. Здесь ∫ – знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Свойства неопределенного интеграла Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: (∫ f(x)dx)´ = f(x) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d (∫ f(x)dx) = f(x) dx Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:∫d (F(x)) = F(х) +С Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫a f(x) dx =a ∫f(x) dx Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫ dx = ∫ dx ± ∫ dx

Слайд 5

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла выводится через криволинейную трапецию. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями y = f(x), y = 0, x=a, x=b.Площадь криволинейной трапеции выражается интегральной суммой или числом, которое называется определенным интегралом. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. = F (x)|ba= F(b) – F(a) Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается формулой Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла: Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на противоположный. Если верхняя и нижняя границы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю. Если отрезок интегрирования разбить на несколько частей, определенный интеграл на отрезке будет равен сумме определенных интегралов этих отрезков. Определенный интеграл от суммы функций, заданных на отрезке равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций. Постоянный множитель к подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла. Оценка определенного интеграла: если m ≤ f(x) ≤ M на , то m (b – a)

Слайд 6

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (см. рисунок), называется криволинейной трапецией. Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Очевидно, что эта площадь зависит от разбиенияотрезка на частичные отрезки и выбора количества точек разбиения. Чем меньше ∆ х, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы. Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Слайд 7

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств. Здесь могут представиться следующие случаи: 1) данный интеграл берется непосредственно по формуле соответствующего табличного интеграла; 2) данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам; 3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применением свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам. 2. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: х = φ (t), где φ (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид ∫f(x) = ∫f [φ (t)] φ΄ (t) d(t); 2) u = ψ(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: ∫f [ψ(х)] ψ ΄(х) d(х) = ∫f (u) du 3. Интегрирование по частям Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле ∫udv = uv - ∫v du, где u = φ (x), v = ψ(х) – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫udv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден.

Слайд 8

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 9

Повторение теоретического материала

Как найти площади изображенных фигур?

Слайд 10

Продолжаем повторять

Слайд 11

Применение интеграла

Кроме этого определенный интеграл используется для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг кривых.

Слайд 12

Вычисление объемов тел

Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b]) поставлено в соответствие единственное число S (х) - площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S(x). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула:

Слайд 13

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

Найдите площадь изображенных фигур 1 – 5. Ответы: 1) S = 2/3 (четность функции); 2) S = 1 (площадь прямоугольного треугольника); 3) S = 4 (равенство фигур); 4) S = 2π (площадь полукруга); 5) S = 1 (площадь треугольника).

Слайд 14

Найди ошибку!

Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках. (Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза) Интересная задача! Ответ: sin nx=0 ; x=π/n; где n=1,2,4,8,16…; S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4 Ответ: 4.

Слайд 15

Программированный контроль

Верные ответы: I вариант: 2,3,1 ; II вариант: 2,4,2.

Слайд 16

Самостоятельная работа

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (схематично изобразив графики функций). 1) y = 6 + x – x2 и y = 6 – 2x; 2) y = 2x2 и y = x + 1 ; 3) y = 1 – x и y = 3 – 2x – x2 ; 4) y = x2 и y = . Ответ: 1) 4,5 ; 2) 9/8 ; 3) 4,5 ; 4) 1/3 .

Слайд 17

Задачи на вычисление объемов

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 1) y = x2 + 1, x = 0, x = 1, y = 0 ; 2) y = , x = 1 , x = 4 , y = 0 ; 3) y = 2x , y = x + 3, x = 0 , x = 1 ; 4) y = x + 2 , y = 1 , x = 0 , x = 2 ; 5) у2 – 4 х = 0, х – 2 = 0, х – 4 = 0, у = 0; 6) у2 – х + 1 = 0, х – 2 = 0, у = 0; 7) y = - x2 + 2х, у = 0; 8) у2 = 2 х, х – 2 = 0, у = 0; 9) y = , x = 3 , y = 0 ; 10) у = 1 – x2 , у = 0. Ответ: 1) ; 2) 7,5  ; 3) 11 ; 4) 16 ⅔; 5) 24 ; 6) /2; 7) 16/15; 8) 4 ; 9) 2 ; 10) 16/15.

Слайд 18

Задачи из ЕГЭ

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x 2+2x+4 на две части. Найти площадь каждой части. 3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.

Слайд 19

Контрольные вопросы

Какое действие называется интегрированием? Какая функция называется первообразной для функции f(x)? Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)? Дайте определение неопределенного интеграла. Как проверить результат интегрирования? Чему равна производная от неопределенного интеграла? Чему равен ∫ d(lnx8 – sin 3x)? Перечислите методы интегрирования. Дайте определение определенного интеграла. Сформулируйте теорему Ньютона – Лейбница. Перечислите свойства определенного интеграла. Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью интеграла (составьте словесный алгоритм)? Перечислите области применения интеграла, назовите величины, которые можно вычислить с помощью интеграла.

Слайд 20

Для любителей математики

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x2 при x0, y=1, y=4, x=0 Решение: Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции, обратной у=х2, x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и 2) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1. Решение: Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5). Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение угловых коэффициентов прямых у=х+1 у=9-х равно -1). Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей треугольников, у которых известны высота и основание или же можно использовать координатный метод.

Слайд 21

Домашнее задание

Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7) у=х2 (х0), у=1, у=4, х=0 у= х2-4х+8, у=3х2-х3, если х [-2;3] у=х2-4х+sin2(x/2), y=-3-cos2(x/2), если х у=3х+1, у=9-х, у=х+1 у=|x-2|, x|y|=2;x=1;x=3 y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1 При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3? Вычислить исходя из его геометрического смысла.

Слайд 22

Список литературы

Н. А. Колмогоров, «Алгебра и начала анализа», Москва, Просвещение,2000г. М. И. Башмаков, «Алгебра и начала анализа», Москва, ДРОФА,2002г. Ш.А.Алимов, «Алгебра и начала анализа», 11 кл., Москва, ДРОФА, 2004г. Л. В. Киселева, Пособие по математике для студентов медицинских училищ и колледжей, Москва, ФГОУ«ВУНМЦ Росздрава», 2005г. http://www.nerungri.edu.ru http://tambov.fio.ru http://www.zachetka.ru http://edu.of.ru http://festival.1september.ru

Посмотреть все слайды

Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский

Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.

Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.

План урока:

1. Защита проекта:

1. из истории интегрального исчисления;
2. свойства интеграла;
3. применение интеграла в математике;
4. применение интеграла в физике;

2. Решение упражнений.

Ход урока

Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.

2 ученик: Свойства интеграла

3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).

4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b , f(х) 0 вычисляется по формуле см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу , то её площадь вычисляется по формуле , см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис. ) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис. ). Площадь находится по формуле . в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = (х) (рис. )

5 ученик: Решим задачу

х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0

7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F - сила Н; х -абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F , а k -коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис.) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) - непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b-значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле

(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х" равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 < ... <х n = b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х k - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна

Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m k , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Теперь осталось заметить, что при n -> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)

Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла Вариант 1 Вариант 2 Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.